Delta Operation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Delta Operation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

r = xî + y ĵ + z k̂

|r| = √(x² + y² + z²) या (x² + y² + z²) = |r|²

Φ = ln |r| = ln(√(x² + y² + z²))

∇Φ = (∂Φ/∂x) î + (∂Φ/∂y) ĵ + (∂Φ/∂z) k̂

अब,

∂Φ/∂x = ∂/∂x [ln(√(x² + y² + z²))] = (1/√(x² + y² + z²)) (1/2√(x² + y² + z²)) (2x) = x/(x² + y² + z²) = x/|r|²

∂Φ/∂y = ∂/∂y [ln(√(x² + y² + z²))] = (1/√(x² + y² + z²)) (1/2√(x² + y² + z²)) (2y) = y/(x² + y² + z²) = y/|r|²

∂Φ/∂z = ∂/∂z [ln(√(x² + y² + z²))] = (1/√(x² + y² + z²)) (1/2√(x² + y² + z²)) (2z) = z/(x² + y² + z²) = z/|r|²

इसलिए, Φ का प्रवणता है:

∇Φ = (x/|r|²) î + (y/|r|²) ĵ + (z/|r|²) k̂ = r/|r|²

∇Φ = \( \frac {\vec{r} }{\vec{r}.\vec{r}} \)

अतः, विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

एक सदिश क्षेत्र F(x, y, z) के लिए एक विभव फलन φ(x, y, z) एक अदिश फलन इस प्रकार है कि:

F(x, y, z) = ∇φ(x, y, z)

जहाँ ∇ प्रवणता संकारक है:

∇ = ∂/∂x î + ∂/∂y ĵ + ∂/∂z k̂

व्याख्या:

सदिश क्षेत्र F ज्ञात करने के लिए, हमें विभव फलन φ(x, y, z) की प्रवणता की गणना करनी होगी:

∇φ(x, y, z) = (∂φ/∂x) î + (∂φ/∂y) ĵ + (∂φ/∂z) k̂

∂φ/∂x = y + z

∂φ/∂y = x + z

∂φ/∂z = x + y

इसलिए, सदिश क्षेत्र F है:

F(x, y, z) = (y + z) î + (x + z) ĵ + (x + y) k̂

⇒ A सही है। 

⇒ विकल्प(4) सही उत्तर है।

संकल्पना:

सतह f के लिए लंबवत सदिश grad f या ∇f है

grad f या ∇f निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है,

\(grad\;f = \nabla f = \hat i\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \hat j\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \hat k\frac{{\partial f}}{{\partial z}}\)

गणना:

दी गई सतह f = 2xz² - 3xy - 4x - 7

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2{z^2} - 3y - 4\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = - 3x\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 4xz\)

\(\nabla f = \hat i\left( {2{z^2} - 3y - 4} \right) + \hat j\left( { - 3x} \right) + \hat k\left( {4xz} \right)\)

बिंदु (1, -1, 2) पर

\(\nabla f = \hat i\left( {2{{\left( 2 \right)}^2} - 3\left( { - 1} \right) - 4} \right) + \hat j\left( { - 3\left( 1 \right)} \right) + \hat k\left( {4\left( 1 \right)\left( 2 \right)} \right)\) = 7î - 3ĵ + 8k̂ 

संकल्पना:

यदि दो सतहें ϕ₁ और ϕ₂ लांबिक रूप से काटते हैं तो इन सतह के लंबों के बीच का कोण 90° है।

सतहों ϕ₁ और ϕ₂ के लिए लंब क्रमशः ∇φ₁ और ∇ϕ2 से दिया जाता है।

सतहों को लांबिक होने के लिए दिए गए बिंदु पर ∇ϕ1 . ∇ϕ2 = 0।

गणना:

दिया हुआ:

f1 = ax2 – byz – (a + 2) x = 0

f2 = 4x2y + z3 – 4 = 0

∇f1 = (2ax – a – 2)î  – bzĵ  - byk̂ 

(∇f1) at (1, -1, 2) is

= (a - 2)î  – 2bĵ  + bk̂ 

∇f2 = 8xyî  + 4x2ĵ  + 3z2k̂ 

(∇f2) at (1, -1, 2) is

= -8î + 4ĵ + 12k̂ 

दोनों सतहें लांबिक रूप से काटेंगी अगर,

∇f1 .∇f2 = 0

⇒ -8 (a - 2) -8b + 12b = 0

⇒ -2a + b + 4 = 0

बिंदु (1, -1, 2) दोनों सतहों पर स्थित है।

⇒ a + 2b – (a + 2) = 0

⇒ b = 1

⇒ -2a + 5 = 0 ⇒ a = \(\frac{{5}}{{2}}\)

संकल्पना:

यदि दो सतहें ϕ₁ और ϕ₂ लांबिक रूप से काटते हैं तो इन सतह के लंबों के बीच का कोण 90° है।

सतहों ϕ₁ और ϕ₂ के लिए लंब क्रमशः ∇φ₁ और ∇ϕ2 से दिया जाता है।

सतहों को लांबिक होने के लिए दिए गए बिंदु पर ∇ϕ1 . ∇ϕ2 = 0।

गणना:

दिया हुआ:

f1 = ax2 – byz – (a + 2) x = 0

f2 = 4x2y + z3 – 4 = 0

∇f1 = (2ax – a – 2)î  – bzĵ  - byk̂ 

(∇f1) at (1, -1, 2) is

= (a - 2)î  – 2bĵ  + bk̂ 

∇f2 = 8xyî  + 4x2ĵ  + 3z2k̂ 

(∇f2) at (1, -1, 2) is

= -8î + 4ĵ + 12k̂ 

दोनों सतहें लांबिक रूप से काटेंगी अगर,

∇f1 .∇f2 = 0

⇒ -8 (a - 2) -8b + 12b = 0

⇒ -2a + b + 4 = 0

बिंदु (1, -1, 2) दोनों सतहों पर स्थित है।

⇒ a + 2b – (a + 2) = 0

⇒ b = 1

⇒ -2a + 5 = 0 ⇒ a = \(\frac{{5}}{{2}}\)

संकल्पना:

सतह f के लिए लंबवत सदिश grad f या ∇f है

grad f या ∇f निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है,

\(grad\;f = \nabla f = \hat i\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \hat j\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \hat k\frac{{\partial f}}{{\partial z}}\)

गणना:

दी गई सतह f = 2xz² - 3xy - 4x - 7

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2{z^2} - 3y - 4\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = - 3x\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 4xz\)

\(\nabla f = \hat i\left( {2{z^2} - 3y - 4} \right) + \hat j\left( { - 3x} \right) + \hat k\left( {4xz} \right)\)

बिंदु (1, -1, 2) पर

\(\nabla f = \hat i\left( {2{{\left( 2 \right)}^2} - 3\left( { - 1} \right) - 4} \right) + \hat j\left( { - 3\left( 1 \right)} \right) + \hat k\left( {4\left( 1 \right)\left( 2 \right)} \right)\) = 7î - 3ĵ + 8k̂ 

व्याख्या:

r = xî + y ĵ + z k̂

|r| = √(x² + y² + z²) या (x² + y² + z²) = |r|²

Φ = ln |r| = ln(√(x² + y² + z²))

∇Φ = (∂Φ/∂x) î + (∂Φ/∂y) ĵ + (∂Φ/∂z) k̂

अब,

∂Φ/∂x = ∂/∂x [ln(√(x² + y² + z²))] = (1/√(x² + y² + z²)) (1/2√(x² + y² + z²)) (2x) = x/(x² + y² + z²) = x/|r|²

∂Φ/∂y = ∂/∂y [ln(√(x² + y² + z²))] = (1/√(x² + y² + z²)) (1/2√(x² + y² + z²)) (2y) = y/(x² + y² + z²) = y/|r|²

∂Φ/∂z = ∂/∂z [ln(√(x² + y² + z²))] = (1/√(x² + y² + z²)) (1/2√(x² + y² + z²)) (2z) = z/(x² + y² + z²) = z/|r|²

इसलिए, Φ का प्रवणता है:

∇Φ = (x/|r|²) î + (y/|r|²) ĵ + (z/|r|²) k̂ = r/|r|²

∇Φ = \( \frac {\vec{r} }{\vec{r}.\vec{r}} \)

अतः, विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

एक सदिश क्षेत्र F(x, y, z) के लिए एक विभव फलन φ(x, y, z) एक अदिश फलन इस प्रकार है कि:

F(x, y, z) = ∇φ(x, y, z)

जहाँ ∇ प्रवणता संकारक है:

∇ = ∂/∂x î + ∂/∂y ĵ + ∂/∂z k̂

व्याख्या:

सदिश क्षेत्र F ज्ञात करने के लिए, हमें विभव फलन φ(x, y, z) की प्रवणता की गणना करनी होगी:

∇φ(x, y, z) = (∂φ/∂x) î + (∂φ/∂y) ĵ + (∂φ/∂z) k̂

∂φ/∂x = y + z

∂φ/∂y = x + z

∂φ/∂z = x + y

इसलिए, सदिश क्षेत्र F है:

F(x, y, z) = (y + z) î + (x + z) ĵ + (x + y) k̂

⇒ A सही है। 

⇒ विकल्प(4) सही उत्तर है।