Damping Coefficient and Damping Ratio MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Damping Coefficient and Damping Ratio - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात:

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(\zeta = \frac{C}{{{C_c}}}=\frac{C}{2 \sqrt{km}}\)

साथ ही, \(2 ξ ω_n=\frac Cm\)

• अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1
• अधःअवमंदित: ζ < 1
• क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1: विस्थापन सबसे छोटे संभव समय में शून्य तक बढ़ेगा। प्रणाली कंपायमान गति से नहीं गुजरता है। 

गणना:

दिया गया है:

C = 10 Ns/m, m = 5 kg, ω_n =  240 rad/min = 4 rad/sec

इसलिए, अवमंदन अनुपात के लिए,

\(2 ξ ω_n=\frac Cm\)

\(\Rightarrow 2 ξ \times 4=\frac {10}{5}\)

ξ = 0.25

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात (ξ) को श्यान अवमंदन गुणांक और क्रांतिक श्यान अवमंदन गुणांक के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{{c}}}{{2\sqrt {{{km}}} }}{{\;\;\;\;\;}} \ldots \left( 1 \right)\)

जहाँ, ξ = अवमंदन अनुपात, c = अवमंदन गुणांक, k = स्प्रिंग स्थिरांक,

गणना:

दिया गया है:

 m = 2 kg, k = 200 N/m, c = 10 Ns/m

समीकरण (1) का प्रयोग करने पर,

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{10}}{{2\sqrt {200 \times 2} }}{{}}=\frac{10}{40}=0.25\)

⇒ ξ = 0.25

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात:

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(\zeta = \frac{C}{{{C_c}}}=\frac{C}{2 \sqrt{km}}\)

साथ ही, \(2 ξ ω_n=\frac Cm\)

• अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1
• अधःअवमंदित: ζ < 1
• क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1: विस्थापन सबसे छोटे संभव समय में शून्य तक बढ़ेगा। प्रणाली कंपायमान गति से नहीं गुजरता है। 

गणना:

दिया गया है:

C = 10 Ns/m, m = 5 kg, ω_n =  240 rad/min = 4 rad/sec

इसलिए, अवमंदन अनुपात के लिए,

\(2 ξ ω_n=\frac Cm\)

\(\Rightarrow 2 ξ \times 4=\frac {10}{5}\)

ξ = 0.25

व्याख्या:

प्रणोदित कंपन में, संचरणशीलता अनुपात निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(\Rightarrow TR = \dfrac{{{F_T}}}{{{F_0}}} = \dfrac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\xi q} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {1 - {q^2}} \right)}^2} + {{\left( {2\xi q} \right)}^2}} }}\)

जहाँ,

\(q = {\bf{Frequency}}\;{\bf{ratio}} = \dfrac{\omega }{{{\omega _n}}}\)

• जब, q = 0 ⇒ TR = 1, (ζ से स्वतंत्र)
• जब, q = 1 और ξ = 0 ⇒ TR = ∞, (ζ से स्वतंत्र)
• जब, q = √2, ⇒ सभी अवमंदन गुणक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR = 1 के माध्यम से गुजरती हैं।
• जब q < √2 ⇒ TR > 1 अवमंदन गुणक के सभी मानों के लिए। इसका मतलब है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव को प्रेषित बल लागू बल से अधिक है।
• जब q > √2 ⇒ TR < 1 अवमंदन गुणक ξ के सभी मानों के लिए। इससे पता चलता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से प्रेषित बल लागू बल से कम है। इस प्रकार, कंपन पार्थक्य केवल q > 2 की सीमा में ही संभव है। यहाँ अवमंदन बढ़ने पर नींव का प्रेषित बल बढ़ता है।

व्याख्या:

• अवमंदन एक ऐसा बल है जो गति का विरोध करता है और सिस्टम से ऊर्जा को हटाता है, आमतौर पर घर्षण या प्रतिरोध के कारण।

• सरल आवर्त गति (SHM) में, जब अवमंदन प्रस्तुत किया जाता है:

  • दोलन का आयाम समय के साथ धीरे-धीरे कम हो जाता है।

  • सिस्टम दोलन करना जारी रखता है, लेकिन प्रत्येक चक्र में कम ऊर्जा के साथ।

  • अवमंदन के स्तर के आधार पर आवृत्ति थोड़ी कम हो सकती है, लेकिन कम अवमंदन के लिए, आवृत्ति परिवर्तन नगण्य है।

अतिरिक्त जानकारी

• अनावृत SHM: स्थिर आयाम, स्थिर आवृत्ति।

• अवमंदित SHM: आयाम समय के साथ तेजी से घटता है।

• अति अवमंदन/क्रांतिक अवमंदन: दोलन पूरी तरह से बंद हो सकता है।

संकल्पना:

\({\rm{Damping\;factor\;}} = \zeta = \frac{c}{{2\sqrt {km} }}\)

जहाँ,

ζ = अवमंदक कारक, c = अवमंदन का गुणांक, k = स्प्रिंग स्थिरांक, m = द्रव्यमान 

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + 3\frac{{dx}}{{dt}} + 9x = 10\sin \left( {5t} \right)\)

इस समीकरण की तुलना  \(m\ddot x + c\dot x + kx = F(t)\) के साथ करने पर

m = 1 kg, c = 3 N s/m, k = 9 N/m,

\({\rm{\zeta }} = \frac{3}{{2\;\sqrt {9 \times 1} \;}}\)

\({\rm{\zeta \;}} = \frac{3}{6}\)

व्याख्या:

अतिअवमंदित और क्रांतिक अवमंदित प्रणाली बिना किसी दोलन के अपनी संतुलन स्थिति में लौट आते हैं। क्रांतिक अवमंदित प्रणाली तेजी से अतिअवमंदित प्रणालियों की तुलना में लौट आते हैं।

क्रांतिक अवमंदित ( ζ = 1):

\(x(t) = (A + Bt){e^{ - {\omega _n}t}}\)

कम से कम संभव समय के साथ विस्थापन शून्य के करीब पहुंच जाएगा। इस कारण से, बड़े सैन्य क्षेत्र की गन गंभीर रूप से नम हो जाती हैं।

अतिअवमंदित प्रणाली (ζ > 1) :

\(x(t) = A{e^{( - \xi + \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}} + B{e^{( - \xi - \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}}\)

यह एपेरियोडिक गति का समीकरण है अर्थात प्राणलै अतिअवमंदन के कारण कंपन नहीं कर सकता है। परिणामी विस्थापन का परिमाण समय के साथ शून्य हो जाता है।

अधोअवमंदित प्रणली दोलन के साथ अपनी संतुलन स्थिति में लौट आते हैं।

यदि प्रणली को कम किया जाता है तो यह स्विंग के घटते आकार के साथ आगे और पीछे तब तक स्विंग करेगा जब तक कि यह रुक न जाए। इसका आयाम तेजी से घटेगा।

\(x\left( t \right) = {e^{ - \xi {ω _n}t}}\left( {A{e^{i{ω _d}t}} + B{e^{ - i{ω _d}t}}} \right)\)

व्याख्या:

प्रणोदित कंपन में, संचरणशीलता अनुपात निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(\Rightarrow TR = \dfrac{{{F_T}}}{{{F_0}}} = \dfrac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\xi q} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {1 - {q^2}} \right)}^2} + {{\left( {2\xi q} \right)}^2}} }}\)

जहाँ,

\(q = {\bf{Frequency}}\;{\bf{ratio}} = \dfrac{\omega }{{{\omega _n}}}\)

• जब, q = 0 ⇒ TR = 1, (ζ से स्वतंत्र)
• जब, q = 1 और ξ = 0 ⇒ TR = ∞, (ζ से स्वतंत्र)
• जब, q = √2, ⇒ सभी अवमंदन गुणक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR = 1 के माध्यम से गुजरती हैं।
• जब q < √2 ⇒ TR > 1 अवमंदन गुणक के सभी मानों के लिए। इसका मतलब है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव को प्रेषित बल लागू बल से अधिक है।
• जब q > √2 ⇒ TR < 1 अवमंदन गुणक ξ के सभी मानों के लिए। इससे पता चलता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से प्रेषित बल लागू बल से कम है। इस प्रकार, कंपन पार्थक्य केवल q > 2 की सीमा में ही संभव है। यहाँ अवमंदन बढ़ने पर नींव का प्रेषित बल बढ़ता है।

अवधारणा:

एक अवमंदक के साथ एकल स्वातंत्र्य कोटि वाली प्रणाली के लिए गति का समीकरण दिया गया है

\(m\ddot x + c\dot x + kx = 0\)

क्रांतिक अवमंदन गुणांक, c_c = 2ζmω_n

\({c_c} = 2ζ m\sqrt {\frac{k}{m}} = 2ζ\sqrt {km}\)

गणना:

दिया गया है:

ζ = 1 (क्रांतिक अवमंदित के लिए)

एकल स्वातंत्र्य कोटि वाली प्रणाली के लिए गति का समीकरण है

4ẍ + 9ẋ + 16x = 0

गति के समीकरण से तुलना करने पर

\(m\ddot x + c\dot x + kx = 0\)

m = 4 kg, c = 9 N/m/s, k = 16 N/m

\(c_c=2\zeta \sqrt {km} = 2\;\sqrt {16 \times 4} = 16~kg/s\)

दिया गया है: X0 = 0.7, X1 = 0.28, X2 = 0.25, X3 = 0.23, X4 = 0.067, ζ = ? 

अब, हम जानते हैं कि \({\bf{δ }} = \frac{1}{{\bf{n}}}{\bf{ln}}\left( {\frac{{{{\bf{X}}_{\bf{o}}}}}{{{{\bf{X}}_{\bf{n}}}}}} \right) = \frac{1}{4}ln\left( {\frac{{0.7}}{{0.067}}} \right)\) 

∴ δ = 0.587; 

अवमंदन अनुपात ​निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

\(ζ = \frac{\delta }{{\sqrt {4{\pi ^2}\; + \;{\delta ^2}} }} = \;\frac{{0.587}}{{\sqrt {4{\pi ^2}\; + \;{{0.587}^2}} }}\)

∴ ζ = 0.0928

वर्णन:

अवमंदित कंपन:

जब एक कंपन प्रणाली की ऊर्जा का अपव्यय घर्षण और अन्य प्रतिरोध द्वारा धीरे-धीरे होता है, तो कंपन को अवमंदित कंपन कहा जाता है। 

अवमंदन अनुपात:

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(\zeta = \frac{C}{{{C_c}}}\)

• अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1
• अधः अवमन्दित: ζ < 1
• क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1: विस्थापन सबसे न्यूनतम समय में शून्य तक पहुंचेगा। प्रणाली एक कंपायमान गति के तहत नहीं गुजरती है। 

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात (ξ) को श्यान अवमंदन गुणांक और क्रांतिक श्यान अवमंदन गुणांक के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{{c}}}{{2\sqrt {{{km}}} }}{{\;\;\;\;\;}} \ldots \left( 1 \right)\)

जहाँ, ξ = अवमंदन अनुपात, c = अवमंदन गुणांक, k = स्प्रिंग स्थिरांक,

गणना:

दिया गया है:

 m = 2 kg, k = 200 N/m, c = 10 Ns/m

समीकरण (1) का प्रयोग करने पर,

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{10}}{{2\sqrt {200 \times 2} }}{{}}=\frac{10}{40}=0.25\)

⇒ ξ = 0.25

संकल्पना:

\({\rm{Damping\;factor\;}} = \zeta = \frac{c}{{2\sqrt {km} }}\)

जहाँ,

ζ = अवमंदक कारक, c = अवमंदन का गुणांक, k = स्प्रिंग स्थिरांक, m = द्रव्यमान 

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + 3\frac{{dx}}{{dt}} + 9x = 10\sin \left( {5t} \right)\)

इस समीकरण की तुलना  \(m\ddot x + c\dot x + kx = F(t)\) के साथ करने पर

m = 1 kg, c = 3 N s/m, k = 9 N/m,

\({\rm{\zeta }} = \frac{3}{{2\;\sqrt {9 \times 1} \;}}\)

\({\rm{\zeta \;}} = \frac{3}{6}\)

व्याख्या:

अतिअवमंदित और क्रांतिक अवमंदित प्रणाली बिना किसी दोलन के अपनी संतुलन स्थिति में लौट आते हैं। क्रांतिक अवमंदित प्रणाली तेजी से अतिअवमंदित प्रणालियों की तुलना में लौट आते हैं।

क्रांतिक अवमंदित ( ζ = 1):

\(x(t) = (A + Bt){e^{ - {\omega _n}t}}\)

कम से कम संभव समय के साथ विस्थापन शून्य के करीब पहुंच जाएगा। इस कारण से, बड़े सैन्य क्षेत्र की गन गंभीर रूप से नम हो जाती हैं।

अतिअवमंदित प्रणाली (ζ > 1) :

\(x(t) = A{e^{( - \xi + \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}} + B{e^{( - \xi - \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}}\)

यह एपेरियोडिक गति का समीकरण है अर्थात प्राणलै अतिअवमंदन के कारण कंपन नहीं कर सकता है। परिणामी विस्थापन का परिमाण समय के साथ शून्य हो जाता है।

अधोअवमंदित प्रणली दोलन के साथ अपनी संतुलन स्थिति में लौट आते हैं।

यदि प्रणली को कम किया जाता है तो यह स्विंग के घटते आकार के साथ आगे और पीछे तब तक स्विंग करेगा जब तक कि यह रुक न जाए। इसका आयाम तेजी से घटेगा।

\(x\left( t \right) = {e^{ - \xi {ω _n}t}}\left( {A{e^{i{ω _d}t}} + B{e^{ - i{ω _d}t}}} \right)\)