Combinations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Combinations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 17, 2025
Latest Combinations MCQ Objective Questions
Combinations Question 1:
मान लीजिए कि सीढ़ियाँ चढ़ने वाला व्यक्ति एक बार में एक या दो सीढ़ियाँ चढ़ सकता है। तब यह व्यक्ति कितने तरीकों से आठ सीढ़ियाँ चढ़ सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 1 Detailed Solution
आइए 1 को एक चरण और 2 को दो चरणों के रूप में मान लेते हैं। 1 या 2 द्वारा तय की गई दूरी पर पहुँचने के लिए निम्न स्थितियों पर विचार कीजिए।
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 - इसे 8C0 = 1 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 - इसे 7C1 = 7 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 1, 1, 2, 2 - इसे 6C2 = 15 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 2, 2, 2 - इसे 5C3 = 10 तरीकों से किया जा सकता है।
- 2, 2, 2, 2 - इसे 4C0 = 1 तरीकों से किया जा सकता है।
तरीकों की कुल संख्या = 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34
Combinations Question 2:
असमिका (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) ≤ 15 के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या ____________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 2 Detailed Solution
असमिका (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) ≤ 15 के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या
इस असमिका के समाधानों की संख्या इस समीकरण के समाधानों की संख्या के समान है
(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) + x7 = 15 (0 ≤ x7 ≤ 15 )
महत्वपूर्ण बिंदु V (n, r) = असीमित दोहरावों के साथ एक बार में r लिए गए n विशिष्ट वस्तुओं के संयोजनों की संख्या
= C(n - 1 + r, r)
समाधानों की आवश्यक संख्या V(7,15) = C (6 + 15, 15)
= C (21,15) or C (21, 6)
इसलिए सही उत्तर C (21, 6) है।
Combinations Question 3:
शब्द “TESTBOOK” पर विचार कीजिए। तो दिए गए शब्द से 4 अक्षरों का चयन कितने तरीकों में किया जा सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
कुल n वस्तुओं में से r वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है;
\({n_{{C_r}}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)! \times r!}}\)
गणना:
दिया गया शब्द TESTBOOK है।
TT OO E S B K, 6 अलग-अलग अक्षर हैं और इन अक्षरों में से हमें 4 अक्षरों का चयन करना है।
|
स्थिति |
चयन (संयोजन) |
तरीकों की संख्या |
|
सभी चार अक्षर अलग-अलग हैं। |
\({6_{{C_4}}} = {6_{{C_2}}} = \frac{{6 \times 5}}{2}\) |
15 |
|
2T और 2O |
1 |
1 |
|
2 समान और 2 अलग |
\(2 \times {5_{{C_2}}} = 2 \times \frac{{5 \times 4}}{2}\) |
20 |
2 समान और 2 अलग-अलग स्थिति में
यहाँ, हम 2 तरीकों में या तो TT और OO का चयन कर सकते हैं और यदि हम TT का चयन करते हैं, तो OO का चयन अन्य 4 अलग-अलग अक्षरों के साथ (E, S, B, और K) किया जा सकता है। इसलिए 5 अलग-अलग अक्षर होंगे और हमें इन पांच अक्षरों में से 2 अक्षर का चयन करना है। इसलिए \({5_{{C_2}}}\) तरीके में।
TESTBOOK से 4 अक्षरों का चयन करने के तरीकों की संख्या = 15 + 1 + 20 = 36 तरीका।
Combinations Question 4:
7 पुरुष और 6 महिलाओं के एक समूह से पांच व्यक्तियों का चयन एक समिति का निर्माण करने के लिए इस प्रकार किया जाना है जिससे कम से कम 3 पुरुष समिति में हो। तो यह कितने तरीकों में किया जा सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 4 Detailed Solution
चूँकि हम जानते हैं कि n में से r चीजों का चयन करने के तरीकों की संख्या nCr के बराबर है।
और nCr = \(\frac{{n!}}{{r! \times (n - r)!}}\)
हमारे पास (3 पुरुष और 2 महिला) या (4 पुरुष और 1 महिला) या ( केवल 5 पुरुष) हो सकते हैं।
∴ तरीकों की आवश्यक संख्या = (7C3 × 6C2) + (7C4 + 6C1) + 7C5
= {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) × (6 × 5)/(2 × 1)} + (7C4 + 6C1) + 7C5
= 525 + {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1)× 6} + (7 × 6)/(2 × 1)
= 525 + 210 + 21 = 756
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7 पुरुष और 6 महिलाओं के एक समूह से पांच व्यक्तियों का चयन एक समिति का निर्माण करने के लिए इस प्रकार किया जाना है जिससे कम से कम 3 पुरुष समिति में हो। तो यह कितने तरीकों में किया जा सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFचूँकि हम जानते हैं कि n में से r चीजों का चयन करने के तरीकों की संख्या nCr के बराबर है।
और nCr = \(\frac{{n!}}{{r! \times (n - r)!}}\)
हमारे पास (3 पुरुष और 2 महिला) या (4 पुरुष और 1 महिला) या ( केवल 5 पुरुष) हो सकते हैं।
∴ तरीकों की आवश्यक संख्या = (7C3 × 6C2) + (7C4 + 6C1) + 7C5
= {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) × (6 × 5)/(2 × 1)} + (7C4 + 6C1) + 7C5
= 525 + {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1)× 6} + (7 × 6)/(2 × 1)
= 525 + 210 + 21 = 756
मान लीजिए कि सीढ़ियाँ चढ़ने वाला व्यक्ति एक बार में एक या दो सीढ़ियाँ चढ़ सकता है। तब यह व्यक्ति कितने तरीकों से आठ सीढ़ियाँ चढ़ सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFआइए 1 को एक चरण और 2 को दो चरणों के रूप में मान लेते हैं। 1 या 2 द्वारा तय की गई दूरी पर पहुँचने के लिए निम्न स्थितियों पर विचार कीजिए।
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 - इसे 8C0 = 1 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 - इसे 7C1 = 7 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 1, 1, 2, 2 - इसे 6C2 = 15 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 2, 2, 2 - इसे 5C3 = 10 तरीकों से किया जा सकता है।
- 2, 2, 2, 2 - इसे 4C0 = 1 तरीकों से किया जा सकता है।
तरीकों की कुल संख्या = 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34
समीकरण x + y + z = 11 के कितने हल हैं, जहाँ x, y और z ऋणेतर पूर्णांक हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसही उत्तर विकल्प 1 है।
अवधारणा :
पुनरावृत्ति के साथ संयोजन:
हमारे पास पुनरावृत्ति के साथ n आइटम का r-संयोजन भी हो सकता है।
- अन्य संयोजनों के समान: क्रम का कोई महत्व नहीं है।
- पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन के समान: हम एक ही चीज़ को कई बार चुन सकते हैं।
यदि हम पुनरावृत्ति के साथ n तत्वों से एक r-संयोजन का चयन कर रहे हैं, तो C(n+r−1,r)=C(n+r−1,n−1) तरीके हैं,
हल:
दिया गया समीकरण x + y + z = 11 है
योग 11 बनाने के लिए 3 अलग-अलग आइटम हैं।
n=3
r=11
C(n+r−1,r)=C(3+11−1, 11) तरीके
C(3+11−1, 11)= C(13, 11)= C(13, 2)= 78
\(\\ C(n,r) = C(13,2) \\= \frac{13!}{( 2! (13 - 2)! )} \\= \frac{13!}{2! \times 11! } \\=78\)
अत: सही उत्तर 78 है।
Combinations Question 8:
शब्द “TESTBOOK” पर विचार कीजिए। तो दिए गए शब्द से 4 अक्षरों का चयन कितने तरीकों में किया जा सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 8 Detailed Solution
संकल्पना:
कुल n वस्तुओं में से r वस्तुओं का चयन करने के तरीकों की संख्या को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है;
\({n_{{C_r}}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)! \times r!}}\)
गणना:
दिया गया शब्द TESTBOOK है।
TT OO E S B K, 6 अलग-अलग अक्षर हैं और इन अक्षरों में से हमें 4 अक्षरों का चयन करना है।
|
स्थिति |
चयन (संयोजन) |
तरीकों की संख्या |
|
सभी चार अक्षर अलग-अलग हैं। |
\({6_{{C_4}}} = {6_{{C_2}}} = \frac{{6 \times 5}}{2}\) |
15 |
|
2T और 2O |
1 |
1 |
|
2 समान और 2 अलग |
\(2 \times {5_{{C_2}}} = 2 \times \frac{{5 \times 4}}{2}\) |
20 |
2 समान और 2 अलग-अलग स्थिति में
यहाँ, हम 2 तरीकों में या तो TT और OO का चयन कर सकते हैं और यदि हम TT का चयन करते हैं, तो OO का चयन अन्य 4 अलग-अलग अक्षरों के साथ (E, S, B, और K) किया जा सकता है। इसलिए 5 अलग-अलग अक्षर होंगे और हमें इन पांच अक्षरों में से 2 अक्षर का चयन करना है। इसलिए \({5_{{C_2}}}\) तरीके में।
TESTBOOK से 4 अक्षरों का चयन करने के तरीकों की संख्या = 15 + 1 + 20 = 36 तरीका।
Combinations Question 9:
7 पुरुष और 6 महिलाओं के एक समूह से पांच व्यक्तियों का चयन एक समिति का निर्माण करने के लिए इस प्रकार किया जाना है जिससे कम से कम 3 पुरुष समिति में हो। तो यह कितने तरीकों में किया जा सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 9 Detailed Solution
चूँकि हम जानते हैं कि n में से r चीजों का चयन करने के तरीकों की संख्या nCr के बराबर है।
और nCr = \(\frac{{n!}}{{r! \times (n - r)!}}\)
हमारे पास (3 पुरुष और 2 महिला) या (4 पुरुष और 1 महिला) या ( केवल 5 पुरुष) हो सकते हैं।
∴ तरीकों की आवश्यक संख्या = (7C3 × 6C2) + (7C4 + 6C1) + 7C5
= {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) × (6 × 5)/(2 × 1)} + (7C4 + 6C1) + 7C5
= 525 + {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1)× 6} + (7 × 6)/(2 × 1)
= 525 + 210 + 21 = 756
Combinations Question 10:
मान लीजिए कि सीढ़ियाँ चढ़ने वाला व्यक्ति एक बार में एक या दो सीढ़ियाँ चढ़ सकता है। तब यह व्यक्ति कितने तरीकों से आठ सीढ़ियाँ चढ़ सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 10 Detailed Solution
आइए 1 को एक चरण और 2 को दो चरणों के रूप में मान लेते हैं। 1 या 2 द्वारा तय की गई दूरी पर पहुँचने के लिए निम्न स्थितियों पर विचार कीजिए।
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 - इसे 8C0 = 1 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 - इसे 7C1 = 7 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 1, 1, 2, 2 - इसे 6C2 = 15 तरीकों से किया जा सकता है।
- 1, 1, 2, 2, 2 - इसे 5C3 = 10 तरीकों से किया जा सकता है।
- 2, 2, 2, 2 - इसे 4C0 = 1 तरीकों से किया जा सकता है।
तरीकों की कुल संख्या = 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34
Combinations Question 11:
निम्नलिखित चार कथनों पर विचार करें:
यदि m से अधिक वस्तुएँ हैं और m कोष्ठ हैं तो
1. कम से कम दो वस्तुओं के साथ कम से कम एक कोष्ठ होगा
2. कम से कम m वस्तुओं के साथ कम से कम एक कोष्ठ होगा
3. वस्तुओं की समान संख्या के साथ कम से कम दो कोष्ठ होंगे
4. कम से कम दो खाली कोष्ठ होंगे
इनमें से कौन सच है?Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 11 Detailed Solution
कोष्ठ सिद्धांत:
1. यदि n कोष्ठों में n + 1 या अधिक कबूतर रहते हैं तो कम से कम एक कोष्ठ में एक से अधिक कबूतर रहते हैं।
2. सामान्यीकृत कोष्ठ सिद्धांत है: - यदि n कोष्ठों में kn + 1 या अधिक कबूतर रहते हैं, जहां k एक धनात्मक पूर्णांक है, तो कम से कम एक कोष्ठ में k + 1 या अधिक कबूतर रहते हैं।
अवलोकन:
यदि m से अधिक वस्तुएँ हैं और m कोष्ठ हैं तो कम से कम दो वस्तुओं के साथ कम से कम एक कोष्ठ होगा
Combinations Question 12:
7 पुरुष और 6 महिलाओं के एक समूह से पांच व्यक्तियों का चयन एक समिति का निर्माण करने के लिए इस प्रकार किया जाना है जिससे कम से कम 3 पुरुष समिति में हो। तो यह कितने तरीकों में किया जा सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 12 Detailed Solution
चूँकि हम जानते हैं कि n में से r चीजों का चयन करने के तरीकों की संख्या nCr के बराबर है।
और nCr = \(\frac{{n!}}{{r! \times (n - r)!}}\)
हमारे पास (3 पुरुष और 2 महिला) या (4 पुरुष और 1 महिला) या ( केवल 5 पुरुष) हो सकते हैं।
∴ तरीकों की आवश्यक संख्या = (7C3 × 6C2) + (7C4 + 6C1) + 7C5
= {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) × (6 × 5)/(2 × 1)} + (7C4 + 6C1) + 7C5
= 525 + {(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1)× 6} + (7 × 6)/(2 × 1)
= 525 + 210 + 21 = 756
Combinations Question 13:
समीकरण x + y + z = 11 के कितने हल हैं, जहाँ x, y और z ऋणेतर पूर्णांक हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 13 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है।
अवधारणा :
पुनरावृत्ति के साथ संयोजन:
हमारे पास पुनरावृत्ति के साथ n आइटम का r-संयोजन भी हो सकता है।
- अन्य संयोजनों के समान: क्रम का कोई महत्व नहीं है।
- पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन के समान: हम एक ही चीज़ को कई बार चुन सकते हैं।
यदि हम पुनरावृत्ति के साथ n तत्वों से एक r-संयोजन का चयन कर रहे हैं, तो C(n+r−1,r)=C(n+r−1,n−1) तरीके हैं,
हल:
दिया गया समीकरण x + y + z = 11 है
योग 11 बनाने के लिए 3 अलग-अलग आइटम हैं।
n=3
r=11
C(n+r−1,r)=C(3+11−1, 11) तरीके
C(3+11−1, 11)= C(13, 11)= C(13, 2)= 78
\(\\ C(n,r) = C(13,2) \\= \frac{13!}{( 2! (13 - 2)! )} \\= \frac{13!}{2! \times 11! } \\=78\)
अत: सही उत्तर 78 है।
Combinations Question 14:
असमिका (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) ≤ 15 के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या ____________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Combinations Question 14 Detailed Solution
असमिका (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) ≤ 15 के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या
इस असमिका के समाधानों की संख्या इस समीकरण के समाधानों की संख्या के समान है
(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6) + x7 = 15 (0 ≤ x7 ≤ 15 )
महत्वपूर्ण बिंदु V (n, r) = असीमित दोहरावों के साथ एक बार में r लिए गए n विशिष्ट वस्तुओं के संयोजनों की संख्या
= C(n - 1 + r, r)
समाधानों की आवश्यक संख्या V(7,15) = C (6 + 15, 15)
= C (21,15) or C (21, 6)
इसलिए सही उत्तर C (21, 6) है।