Central Force Motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Central Force Motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

पृथ्वी की सतह से ऊपर उपग्रह की ऊँचाई की गणना करने के लिए, हम कक्षीय वेग के सूत्र का उपयोग करते हैं:

R के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है:

दिया गया डेटा है:

मानों को प्रतिस्थापित करें:

R की गणना करें:

पृथ्वी की सतह से ऊपर की ऊँचाई h है:

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

हल:

दिया गया समीकरण एक केंद्रीय बल क्षेत्र में पथ समीकरण का एक रूप है, जहाँ कण की गति को ध्रुवीय निर्देशांकों में वर्णित किया गया है। कण का प्रक्षेप पथ ϵ के मान पर निर्भर करता है, जो कक्षा की उत्केन्द्रता को दर्शाता है।

उत्केन्द्रता और प्रक्षेप पथ के प्रकार:
वृत्ताकार कक्षा : यदि ϵ = 0 है, तो कोसाइन पद समाप्त हो जाता है, और प्रक्षेप पथ एक वृत्त होता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा : यदि 0 परवलयिक कक्षा : यदि ϵ = 1 है, तो प्रक्षेप पथ एक परवलयिक होता है।
अतिपरवलयिक कक्षा : यदि ϵ > 1 है, तो प्रक्षेप पथ अतिपरवलयिक होता है।

परवलयिक प्रक्षेप पथ स्थिति:
एक परवलयिक प्रक्षेप पथ तब होता है जब ϵ = 1 होता है। यह उस स्थिति के संगत है जहाँ प्रक्षेप पथ का आकार एक "परवलय" को दर्शाता है, जो एक ऐसी वस्तु की विशेषता है जो केंद्रीय बल से बचने वाले पथ पर है लेकिन अभी तक अनंत दूरी तक नहीं पहुँची है।

सही विकल्प 2): ϵ = 1 है। 

हल:

• केंद्रीय बल क्षेत्रों और स्थिर कक्षाओं को समझना:

  • क्लासिकी यांत्रिकी में, एक केंद्रीय बल के अधीन गतिमान कण के लिए बंद स्थिर कक्षाएँ केवल विशिष्ट स्थितियों में संभव हैं।
  • बर्ट्रेंड का प्रमेय केंद्रीय बल क्षेत्रों में बंद कक्षाओं के लिए आवश्यक शर्तें प्रदान करता है। इस प्रमेय के अनुसार, बंद कक्षाएँ केवल उन केंद्रीय बलों के लिए होती हैं जो r−1 r^{-1}" id="MathJax-Element-175-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r−1r−1 r^{-1} $r^{-1}$ r−1 (गुरुत्वाकर्षण या स्थिरवैद्युत बल के समान) या r2 r^2" id="MathJax-Element-176-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r2r2 r^2 $r^2$ r2 के रूप में बदलते हैं।

• बर्ट्रेंड के प्रमेय का अनुप्रयोग:

  • स्थिर, बंद कक्षाओं के लिए, बल $F$ r−2 r^{-2}" id="MathJax-Element-177-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r−2r−2 r^{-2} $r^{-2}$ या r1 r^1" id="MathJax-Element-178-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r1r1 r^1 $r^1$ के समानुपाती होना चाहिए।
  • ये बल व्यंजक F⃗=krnr^ \vec{F} = kr^n \hat{r}" id="MathJax-Element-179-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">F⃗ =krnrˆF⃗=krnr^ \vec{F} = kr^n \hat{r} $\vec{F} = kr^n \hat{r}$ में n n" id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">nn n $n$ n के विशिष्ट मानों के अनुरूप हैं।

सही विकल्प विकल्प 4) n = 1 और n = -2 है।

संप्रत्यय:

T तापमान पर ऊष्मीय साम्यावस्था में N विभेद्य कणों की एक-आयामी प्रणाली के लिए, xⁿ के समानुपाती बाह्य प्रत्यावर्तक बल के अधीन, जहाँ x > 0 और n > 0 है, हमारा उद्देश्य प्रति कण औसत स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि स्थितिज ऊर्जा U(x) इस रूप की है:

जहाँ, k एक स्थिरांक है। समविभाजन प्रमेय के अनुसार, जो कहता है कि ऊर्जा व्यंजक में द्विघाती रूप से प्रकट होने वाले प्रत्येक स्वातंत्र्य की कोटि प्रति कण औसत ऊर्जा में का योगदान करती है, हमें इस संदर्भ में औसत स्थितिज ऊर्जा योगदान निर्धारित करने की आवश्यकता है।

चूँकि प्रत्यावर्तक बल xⁿ के समानुपाती है, इसलिए हम सीधे समविभाजन प्रमेय को लागू नहीं कर सकते हैं। इसके बजाय, हम स्थितिज ऊर्जा के संबंध का उपयोग करते हैं:

घात नियम स्थितिज के लिए औसत स्थितिज ऊर्जा तापमान और घातांक n के साथ स्केल करती है। ऊष्मीय साम्यावस्था पर, ऊर्जा वितरण बोल्ट्जमान वितरण का अनुसरण करता है, जो यह निर्धारित करता है कि xⁿ के समानुपाती औसत स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:

चूँकि गतिज ऊर्जा से भी यही योगदान आता है और दोनों मिलकर हमें देते हैं।

इस प्रकार, इस एक-आयामी प्रणाली के लिए प्रति कण औसत स्थितिज ऊर्जा है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

ध्रुवीय निर्देशांकों (r, θ) में, द्रव्यमान m के एक कण की गतिज ऊर्जा T इस प्रकार दी जाती है:

हमें इस गतिज ऊर्जा को निर्देशांकों r और q = sin θ के पदों में व्यक्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हमें और के बीच संबंध ज्ञात करना होगा।

दिया गया है, q = sin θ, हम ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग कर सकते हैं:

चूँकि , हम लिख सकते हैं:

के लिए हल करना:

अब इसे गतिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

अतः, सही उत्तर विकल्प 2 है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points

• जब कोई वस्तु त्वरण से गुजरती है, तब इसका अर्थ है कि उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन गति, दिशा या दोनों के संदर्भ में हो सकता है।
• इस पर हमेशा एक बल कार्य करता है:
  • यह कथन सामान्यतः सत्य है।
  • न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान (F = ma) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
  • इसलिए, यदि त्वरण है, तंब वस्तु पर कोई बल अवश्य कार्य करेगा।

Additional Information

• त्वरण भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो समय के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करती है।
• वेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण (गति) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए, गति, दिशा या दोनों में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है।
• त्वरण (a) का सूत्र a = F/m है जहां a त्वरण है। F किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल है और m वस्तु का द्रव्यमान है।
• यह सूत्र बताता है कि किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सरल शब्दों में, यदि आप किसी वस्तु पर बल लगाते हैं, तब उसमें तेजी आएगी, और यदि बल अधिक मजबूत है या वस्तु का द्रव्यमान कम है तब त्वरण ज्यादा होगा।
• त्वरण विभिन्न रूपों में हो सकता है:
  • रैखिक त्वरण: एक सीधी रेखा में गति में परिवर्तन।
  • कोणीय त्वरण: घूर्णी गति या दिशा में परिवर्तन।
  • अभिकेंद्रीय त्वरण: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण।
• त्वरण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है:
  • सकारात्मक त्वरण: सकारात्मक दिशा में गति बढ़ाना।
  • नकारात्मक त्वरण (मंदन): धीमा होना या विपरीत दिशा में चलना।
• गुरुत्वाकर्षण एक सामान्य बल है जो त्वरण उत्पन्न करता है। पृथ्वी की सतह के निकट, मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का अनुभव करती हैं, जिसे g (लगभग 9.8 m/s²) के रूप में दर्शाया जाता है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Key Points

• जब कोई वस्तु त्वरण से गुजरती है, तब इसका अर्थ है कि उसके वेग में परिवर्तन होता है। वेग में यह परिवर्तन गति, दिशा या दोनों के संदर्भ में हो सकता है।
• इस पर हमेशा एक बल कार्य करता है:
  • यह कथन सामान्यतः सत्य है।
  • न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान (F = ma) के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
  • इसलिए, यदि त्वरण है, तंब वस्तु पर कोई बल अवश्य कार्य करेगा।

Additional Information

• त्वरण भौतिकी में एक मौलिक अवधारणा है जो समय के संबंध में वेग में परिवर्तन की दर का वर्णन करती है।
• वेग एक सदिश राशि है, अर्थात इसमें परिमाण (गति) और दिशा दोनों होते हैं। इसलिए, गति, दिशा या दोनों में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है।
• त्वरण (a) का सूत्र a = F/m है जहां a त्वरण है। F किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल है और m वस्तु का द्रव्यमान है।
• यह सूत्र बताता है कि किसी वस्तु का त्वरण उस पर लगने वाले कुल बल के सीधे आनुपातिक और उसके द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सरल शब्दों में, यदि आप किसी वस्तु पर बल लगाते हैं, तब उसमें तेजी आएगी, और यदि बल अधिक मजबूत है या वस्तु का द्रव्यमान कम है तब त्वरण ज्यादा होगा।
• त्वरण विभिन्न रूपों में हो सकता है:
  • रैखिक त्वरण: एक सीधी रेखा में गति में परिवर्तन।
  • कोणीय त्वरण: घूर्णी गति या दिशा में परिवर्तन।
  • अभिकेंद्रीय त्वरण: वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण।
• त्वरण सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है:
  • सकारात्मक त्वरण: सकारात्मक दिशा में गति बढ़ाना।
  • नकारात्मक त्वरण (मंदन): धीमा होना या विपरीत दिशा में चलना।
• गुरुत्वाकर्षण एक सामान्य बल है जो त्वरण उत्पन्न करता है। पृथ्वी की सतह के निकट, मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का अनुभव करती हैं, जिसे g (लगभग 9.8 m/s²) के रूप में दर्शाया जाता है।

अवधारणा:

ध्रुवीय निर्देशांकों (r, θ) में, द्रव्यमान m के एक कण की गतिज ऊर्जा T इस प्रकार दी जाती है:

हमें इस गतिज ऊर्जा को निर्देशांकों r और q = sin θ के पदों में व्यक्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हमें और के बीच संबंध ज्ञात करना होगा।

दिया गया है, q = sin θ, हम ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग कर सकते हैं:

चूँकि , हम लिख सकते हैं:

के लिए हल करना:

अब इसे गतिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

अतः, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

पृथ्वी की सतह से ऊपर उपग्रह की ऊँचाई की गणना करने के लिए, हम कक्षीय वेग के सूत्र का उपयोग करते हैं:

R के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है:

दिया गया डेटा है:

मानों को प्रतिस्थापित करें:

R की गणना करें:

पृथ्वी की सतह से ऊपर की ऊँचाई h है:

इस प्रकार, विकल्प '2' सही है।

हल:

• केंद्रीय बल क्षेत्रों और स्थिर कक्षाओं को समझना:

  • क्लासिकी यांत्रिकी में, एक केंद्रीय बल के अधीन गतिमान कण के लिए बंद स्थिर कक्षाएँ केवल विशिष्ट स्थितियों में संभव हैं।
  • बर्ट्रेंड का प्रमेय केंद्रीय बल क्षेत्रों में बंद कक्षाओं के लिए आवश्यक शर्तें प्रदान करता है। इस प्रमेय के अनुसार, बंद कक्षाएँ केवल उन केंद्रीय बलों के लिए होती हैं जो r−1 r^{-1}" id="MathJax-Element-175-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r−1r−1 r^{-1} $r^{-1}$ r−1 (गुरुत्वाकर्षण या स्थिरवैद्युत बल के समान) या r2 r^2" id="MathJax-Element-176-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r2r2 r^2 $r^2$ r2 के रूप में बदलते हैं।

• बर्ट्रेंड के प्रमेय का अनुप्रयोग:

  • स्थिर, बंद कक्षाओं के लिए, बल $F$ r−2 r^{-2}" id="MathJax-Element-177-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r−2r−2 r^{-2} $r^{-2}$ या r1 r^1" id="MathJax-Element-178-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">r1r1 r^1 $r^1$ के समानुपाती होना चाहिए।
  • ये बल व्यंजक F⃗=krnr^ \vec{F} = kr^n \hat{r}" id="MathJax-Element-179-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">F⃗ =krnrˆF⃗=krnr^ \vec{F} = kr^n \hat{r} $\vec{F} = kr^n \hat{r}$ में n n" id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">nn n $n$ n के विशिष्ट मानों के अनुरूप हैं।

सही विकल्प विकल्प 4) n = 1 और n = -2 है।

दिया गया है:

.....(i)
अधिकतम के लिए,



इसलिए n = 3

हल:

प्रभावी स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:

,

जहाँ एक बल नियतांक है, और .

एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा के लिए, में किसी त्रिज्या पर न्यूनतम होना चाहिए।

चरण 1: न्यूनतम के लिए शर्त

न्यूनतम पर, का प्रथम अवकलज शून्य हो जाता है:

अवकलज की गणना करें:

इसे शून्य पर सेट करें:

पुनर्व्यवस्थित करने पर मिलता है:

चरण 2: स्थिरता की स्थिति

न्यूनतम के अस्तित्व के लिए, द्वितीय अवकलज धनात्मक होना चाहिए:

0 \).

द्वितीय अवकलज की गणना करें:

समीकरण (1) से को प्रतिस्थापित करें:

सरलीकृत करें:

स्थिरता के लिए:

0 \),

जो सरलीकृत होकर बनता है:

चरण 3: विशेष स्थितियाँ

 की स्थिति कार्य नहीं करता क्योंकि विभव नियत हो जाता है। हालाँकि, के सभी ऋणात्मक मानों के लिए स्वीकार्य है।

उदाहरण के लिए, , , और के साथ, त्रिज्या लगभग है:

अंतिम उत्तर:   को छोड़कर,  के लिए वृत्ताकार कक्षाएँ स्थिर होती हैं।

हल:

दिया गया समीकरण एक केंद्रीय बल क्षेत्र में पथ समीकरण का एक रूप है, जहाँ कण की गति को ध्रुवीय निर्देशांकों में वर्णित किया गया है। कण का प्रक्षेप पथ ϵ के मान पर निर्भर करता है, जो कक्षा की उत्केन्द्रता को दर्शाता है।

उत्केन्द्रता और प्रक्षेप पथ के प्रकार:
वृत्ताकार कक्षा : यदि ϵ = 0 है, तो कोसाइन पद समाप्त हो जाता है, और प्रक्षेप पथ एक वृत्त होता है।
दीर्घवृत्ताकार कक्षा : यदि 0 परवलयिक कक्षा : यदि ϵ = 1 है, तो प्रक्षेप पथ एक परवलयिक होता है।
अतिपरवलयिक कक्षा : यदि ϵ > 1 है, तो प्रक्षेप पथ अतिपरवलयिक होता है।

परवलयिक प्रक्षेप पथ स्थिति:
एक परवलयिक प्रक्षेप पथ तब होता है जब ϵ = 1 होता है। यह उस स्थिति के संगत है जहाँ प्रक्षेप पथ का आकार एक "परवलय" को दर्शाता है, जो एक ऐसी वस्तु की विशेषता है जो केंद्रीय बल से बचने वाले पथ पर है लेकिन अभी तक अनंत दूरी तक नहीं पहुँची है।

सही विकल्प 2): ϵ = 1 है। 

संप्रत्यय:

T तापमान पर ऊष्मीय साम्यावस्था में N विभेद्य कणों की एक-आयामी प्रणाली के लिए, xⁿ के समानुपाती बाह्य प्रत्यावर्तक बल के अधीन, जहाँ x > 0 और n > 0 है, हमारा उद्देश्य प्रति कण औसत स्थितिज ऊर्जा ज्ञात करना है।

मान लीजिए कि स्थितिज ऊर्जा U(x) इस रूप की है:

जहाँ, k एक स्थिरांक है। समविभाजन प्रमेय के अनुसार, जो कहता है कि ऊर्जा व्यंजक में द्विघाती रूप से प्रकट होने वाले प्रत्येक स्वातंत्र्य की कोटि प्रति कण औसत ऊर्जा में का योगदान करती है, हमें इस संदर्भ में औसत स्थितिज ऊर्जा योगदान निर्धारित करने की आवश्यकता है।

चूँकि प्रत्यावर्तक बल xⁿ के समानुपाती है, इसलिए हम सीधे समविभाजन प्रमेय को लागू नहीं कर सकते हैं। इसके बजाय, हम स्थितिज ऊर्जा के संबंध का उपयोग करते हैं:

घात नियम स्थितिज के लिए औसत स्थितिज ऊर्जा तापमान और घातांक n के साथ स्केल करती है। ऊष्मीय साम्यावस्था पर, ऊर्जा वितरण बोल्ट्जमान वितरण का अनुसरण करता है, जो यह निर्धारित करता है कि xⁿ के समानुपाती औसत स्थितिज ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:

चूँकि गतिज ऊर्जा से भी यही योगदान आता है और दोनों मिलकर हमें देते हैं।

इस प्रकार, इस एक-आयामी प्रणाली के लिए प्रति कण औसत स्थितिज ऊर्जा है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।