Angle between Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Angle between Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

त्रिविमीय में दो रेखाओं के बीच का कोण:

• अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिशात्मक सदिशों के बीच के कोण का उपयोग करते हैं।
• यदि दिशात्मक सदिश a और b हैं, तो उनके बीच का कोण θ इस प्रकार दिया गया है:
• cosθ = (a · b) / (|a| x |b|)
• यहाँ, a · b सदिशों का अदिश गुणनफल है, और |a| सदिश a का परिमाण है।

अदिश गुणनफल:

• सदिशों a = a₁i + a₂j + a₃k और b = b₁i + b₂j + b₃k का अदिश गुणनफल है:
• a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

गणना:

दिया गया है, पहली रेखा का दिशात्मक सदिश = 4i + 6j + 12k

माना a = 4i + 6j + 12k

दूसरी रेखा का दिशात्मक सदिश = 5i + 8j − 4k

माना कि b = 5i + 8j − 4k

⇒ a · b = (4)(5) + (6)(8) + (12)(−4)

⇒ a · b = 20 + 48 − 48 = 20

⇒ |a| = √(4² + 6² + 12²) = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14

⇒ |b| = √(5² + 8² + (−4)²) = √(25 + 64 + 16) = √105

⇒ cosθ = (a · b) / (|a| x |b|) = 20 / (14 x √105)

⇒ cosθ = 2 / (√105 / 7)

⇒ θ = cos⁻¹(20 / (14√105))

⇒ θ = cos−1(10 / (7√105))

∴ अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

संकल्पना: 

y = mx + c के रूप की एक रेखा की ढ़ाल है

m = tan θ और θ = tan^-1(m)

m₁ और m₂ ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = \(\Big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\Big|\)

गणना: 

दिया गया है, एक रेखा L की ढाल 2 है।

m₁ और m₂ ढ़ाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण है,

tan θ = \(\Big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\Big|\)

दिया है कि m₁ और m₂ ढ़ाल वाली रेखाएं L के साथ कोण \(\frac{\pi}{6}\) पर आनत हैं।

∴ tan \(\frac{\pi}{6}\) = \(\left| \frac{ m_1- 2}{1+2m_1} \right|\)

\(\frac{1}{√{3}}\) = \(\left| \frac{m_1-2}{1+2m_1} \right|\)

\(\frac{m_1-2}{1+2m_1}=\frac{1}{\sqrt3}\) , \(\frac{m_1-2}{1+2m_1}=-\frac{1}{\sqrt3}\)

\(m_1=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\), \(m_1=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)

इसीतरह, \(m_2=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\), \(m_2=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)

 \(m_1=\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\)और​ \(m_2=\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\) लीजिये 

m₁ + m₂ = \(\frac{-2\sqrt3- 1}{2-\sqrt3}\) \(+\frac{2\sqrt3- 1}{2+\sqrt3}\)

\(m_1+m_2=\frac{-4\sqrt 3-6-2-\sqrt3+4\sqrt3-6-2+\sqrt3}{4-3}\)

∴ m1 + m2 = - 16

सही उत्तर विकल्प (4) है।

गणना:

दिया गया है:

रेखा 4x + 5y = 20 ⇒ \(\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1\)

A के निर्देशांक, \(\mathrm{A}=\left(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)\)

B के निर्देशांक, \(\mathrm{B}=\left(\frac{10}{3}, \frac{4}{3}\right)\)

OA की प्रवणता, \(\mathrm{m}_1=\frac{8}{5}\)

OB की प्रवणता, \(\mathrm{m}_2=\frac{2}{5}\)

\(\tan \theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right| \)

⇒ \( \tan \theta=\frac{\frac{6}{5}}{1+\frac{16}{25}}=\frac{30}{41}\)

⇒ \(\tan \theta=\frac{30}{41}\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना: 

ढलान m₁ और m₂ वाली रेखाओं के बीच कोण θ निम्न द्वारा दिया गया है 

tan θ  = \(\Big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\Big|\) 

गणना: 

दिया गया है, L: ax + y + c = 0 --- (1)

L का ढाल  = - a

और रेखा x + y - 3 = 0 का ढाल - 1 है।

L रेखा x + y - 3 = 0 के साथ tan-1\(\left( {\frac{5}{7}} \right)\)  का कोण बनाते हुए (1,1) से गुजर रहा है

∴ tan θ = \(\Big|\frac{-a+1}{1+a}\Big|\)

⇒ tan (tan-1\(\left( {\frac{5}{7}} \right)\)) =  \(\Big|\frac{-a+1}{1+a}\Big|\)

⇒ \(\frac{5}{7}\) \(=\Big|\frac{-a+1}{1+a}\Big|\)

⇒  a = 6, \(\frac{1}{6}\)

∴ a = 6 (∵ m ∈ Z)

समीकरण (1) में a = 6 रखने पर, हमें प्राप्त होता हैं

6x + y + c = 0

चूँकि यह रेखा (1,1) से होकर जा रही है, उपरोक्त समीकरण में x = 1 और y = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें c = - 7 प्राप्त होता है

ac = 6(- 7) 

∴ ac = - 42

सही उत्तर विकल्प (2) है।

संकल्पना:

रेखाओं के बीच का कोण जिसके ढलान m1 और m2 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

\(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|\)

गणना:

रेखाओं के बीच का कोण जिसके ढलान m1 और m2 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

\(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|\)

दिया गया है, m1 = 2 - √3 और m2 = 2 + √3

\(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{(2-\sqrt3)-(2+\sqrt3)}{1+(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}|\)

⇒ \(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{-2\sqrt3}{2}|\)

⇒ \(\rm\tan\;\theta = |-\sqrt3|\)

⇒ \(\rm\tan\;\theta =\pm\sqrt3\)

⇒ \(\rm\theta = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac {2\pi} {3}\)

संकल्पना:

रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दी गयी रेखाएं y = x + 4 और y =  2x - 3 हैं। 

माना कि पहली और दूसरी रेखा की ढलान क्रमशः m₁ और m₂ हैं। 

इसलिए, m₁ = 1 और m₂ = 2

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\)

⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{1 - 2}{1+1 \times 2} \right | = \frac 1 3\)

∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 3 \right)\)

संकल्पना:

दो रेखा y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच के कोण को tan θ = \(\rm \left|\frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right |\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

माना कि पहली और दूसरी रेखा क्रमशः m1 और m2  हैं,

इसलिए, m1 = \(\sqrt 3\) और m2 = \(\frac {1}{\sqrt 3}\)

चूँकि हम जानते हैं, tan θ = \(\rm \left|\frac{\sqrt 3 - \frac {1}{\sqrt 3}}{1+\sqrt 3 \times \frac {1}{\sqrt 3}} \right |\)

⇒ tan θ = \(\rm \left|\frac{\frac{3 - 1}{\sqrt 3}}{1+1} \right | = \frac {1} {\sqrt3}\)

∴ θ = \(\rm \tan^{-1} \left(\frac 1 {\sqrt3} \right)\) = \(\rm \frac {\pi}{6}\)

अवधारणा:

• दो रेखाओं y = m1x + c1 और y = m2x + c2 के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया गया है:

  θ = \(\rm\tan^{-1}\left|m_2\ -\ m_1\over1\ +\ m_1m_2\right|\)

• बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान (m) को निम्न द्वारा दिया गया है:

  m = \(\rm y_2\ -\ y_1\over x_2\ -\ x_1\)

गणना:

दिया गया है कि A = (1, 3), B = (2, 2) और C = (3, 4)।

त्रिभुज ABC में कोण B, रेखाओं BA और BC के बीच का कोण है।

BA की ढलान = m₁ = \(\rm 2\ -\ 3\over 2\ -\ 1\) = -1

BC की ढलान = m₂ = \(\rm 4\ -\ 2\over 3\ -\ 2\) = 2

कोण B = \(\rm\tan^{-1}\left|m_2\ -\ m_1\over1\ +\ m_1m_2\right|=\tan^{-1}\left|2\ -\ (-1) \over1\ +\ (2)(-1)\right|\ =\ \tan^{-1}\left|3\over-1\right|\) = tan-1 3

अवधारणा :

यदि α क्रमशः ढलानों m1 और m2 के साथ दो गैर-ऊर्ध्वाधर और गैर-लंबवत रेखाओं L1 और L2 के बीच न्यूनकोण है तो \(\tan α = \left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \right|\)

गणना :

यहाँ, हमें उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना है जिनकी ढलानें \(\sqrt 3 \ and \frac{1}{\sqrt 3}\) हैं

माना कि \(m_1 = \sqrt 3 \ and \ m_2 = \frac{1}{\sqrt 3}\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\tan α = \left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \right|\)

⇒ \(\tan α = \left| {\frac{{{\frac{1}{\sqrt 3}} - {\sqrt 3}}}{{1 + {\sqrt 3} \cdot {\frac{1}{\sqrt 3}}}}} \right|\)

⇒ \(tan \ α = \frac{1}{\sqrt3}\)

⇒ α = 30°

तो, उन रेखाओं के बीच का कोण 30° है जिनकी ढलानें \(\sqrt 3 \ and \frac{1}{\sqrt 3}\) हैं 

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।

अवधारणा :

यदि θ क्रमशः ढलानों m1 और m2 के साथ दो गैर-ऊर्ध्वाधर और गैर-लंबवत रेखाओं L1 और L2 के बीच न्यूनकोण है तो \(\tan θ = \left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \right|\)

गणना:

यहाँ, हमें उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना है जिनकी ढलानें 1/2 और 3 हैं

माना कि m₁ = 1/2 और m₂ = 3

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\tan θ = \left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + {m_1} \cdot {m_2}}}} \right|\)

⇒ \(\tan θ = \left| {\frac{{{3} - {\frac{1}{2}}}}{{1 + {\frac{1}{2}} \cdot {3}}}} \right| = 1\)

⇒ θ = 45°

तो, उन रेखाओं के बीच का कोण 45° है जिनकी ढलानें 1/2 है और 3 हैं

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

रेखाओं के बीच का कोण जिसके ढलान m1 और m2 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

\(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|\)

गणना:

रेखाओं के बीच का कोण जिसके ढलान m1 और m2 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

\(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|\)

दिया गया है, m1 = 2 - √3 और m2 = 2 + √3

\(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{(2-\sqrt3)-(2+\sqrt3)}{1+(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}|\)

⇒ \(\rm\tan\;\theta = |\dfrac{-2\sqrt3}{2}|\)

⇒ \(\rm\tan\;\theta = |-\sqrt3|\)

⇒ \(\rm\tan\;\theta =\pm\sqrt3\)

⇒ \(\rm\theta = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac {2\pi} {3}\)

अवधारणा:

दो रेखाओं के बीच का कोण

यदि y = m1x + c1 और y = m2x + c2 द्वारा परिभाषित दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण θ है, तो कोण θ निम्न द्वारा दिया गया है

tanθ = \(\rm \left | \frac{m_{2} - m_{1}}{ 1 + m_{1}m_{2} } \right |\)

\(\) गणना:

दी गई रेखाएँ निम्न हैं

2x - y = 3      ....(1)

और x - 2y = 3      ...(2)

समीकरण (1) से,

2x - y = 3

⇒ y = 2x - 3

यहाँ, m1 = 2

समीकरण (2) से,

x - 2y = 3 

2y = x - 3

y = \(\rm \frac{x}{2} - \frac{3}{2}\)

यहाँ m2 = \(\rm \frac{1}{2}\)

अब,

tan θ = \(\rm \left | \frac{\frac{1}{2} - 2}{ 1 + \frac{1}{2}. 2} \right |\) = \(\rm \frac{3}{4}\)

θ = tan-1( \(\rm \frac{3}{4}\) )

रेखाओं 2x - y = 3 और x - 2y = 3 के बीच का कोण tan-1( \(\rm \frac{3}{4}\) ) है। 

संकल्पना:

दो रेखाओं के बीच का कोण: ढलान m₁ और  m₂ वाली रेखाओं के बीच का कोण θ निम्न दिया गया है 

\(\tan {\rm{\theta }} = {\rm{\;}}\left| {\frac{{{{\rm{m}}_2} - {{\rm{m}}_1}}}{{1 + {\rm{\;}}{{\rm{m}}_1}{\rm{\;}}{{\rm{m}}_2}}}} \right|\)

गणना:

दिया गया है: y - √3x – 5 = 0 और √3y – x + 6 = 0

y - √3x – 5 = 0

⇒ y = √3x + 5

इसलिए, रेखा का ढलान, m₁ = √3

√3y – x + 6 = 0

\(\Rightarrow {\rm{y}} = \frac{{\rm{x}}}{{\sqrt 3 }} - \frac{6}{{\sqrt 3 }}\)

इसलिए, रेखा का ढलान, m₂ = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

माना कि θ रेखाओं के बीच का न्यून कोण है। 

\(\tan {\rm{\theta }} = \left| {\frac{{{{\rm{m}}_1} - {{\rm{m}}_2}}}{{1 + {{\rm{m}}_1}{{\rm{m}}_2}}}} \right|\)

\(\Rightarrow \tan {\rm{\theta }} = \left| {\frac{{\sqrt 3 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{1 + \sqrt 3 \times \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}} \right|\)

\( \Rightarrow \tan {\rm{\theta }} = \left| {\frac{{\frac{2}{{\sqrt 3 }}}}{2}} \right|\)

\(\Rightarrow \tan {\rm{\theta }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

⇒ θ = 30° 

संकल्पना:

ढलान m₁ और m₂ वाले रेखाओं के बीच के कोण θ को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है 

\(\rm \tan θ = \left | \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right |\) 

गणना:

हमारे पास रेखाओं के समीकरण y - 3x + 2 = 0 और 9x = 3y + 7 दिए गए हैं। 

⇒ y = 3x - 2 

⇒ m₁ = 3           ____( i ) 

और, 3y = 9x - 7 

⇒ y = 3x - 7/3 

⇒ m₂ = 3            ____( ii ) 

हम जानते हैं कि, \(\rm tanθ = \left | \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right |\) 

⇒ tan θ = \(\rm\left | \frac{3-3}{1+9} \right |\)

⇒ tan θ = 0 

⇒ θ = 0 .

सही विकल्प 3 है। 

Additional Information

समानांतर रेखाओं का ढलान बराबर हैं। 

यदि रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर है, तो रेखाओं के बीच कोण θ शून्य है। 

संकल्पना:

दो रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया जाता है \(\rm \theta =tan^{-1}|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}|\), m1 और m2 रेखाओं की ढलानें हैं।

सीधी रेखा का समीकरण​: y = mx + c, जहाँ m = ढलान

गणना:

यहाँ, सीधी रेखाओं के युग्म 2x + y = 1 और 3x - y = 2 है

2x + y = 1 ⇒y = -2x + 1 so, m₁ = -2

और, 3x - y = 2 ⇒y = 3x - 2 so, m₂ = 3

तो, सीधी रेखाओं के युग्म के बीच का कोण = \(\rm \theta =tan^{-1}|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}|\)

 \(\rm =tan^{-1}|\frac{3-(-2)}{1+3(-2)}|\\ =tan^{-1} 1\)

इसलिए, विकल्प (1) सही है।