सारण्यांच्या संदर्भात खालील गोष्टींचा विचार करा \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

1. A चा व्यस्त अस्तित्वात नाही.

2. A³ = A

3. 3A = A²

वरीलपैकी कोणते योग्य आहेत?

संकल्पना:

सारणी गुणन:

• पहिल्या सारणीची स्तंभ संख्या दुसऱ्या सारणीच्या पंक्तीच्या संख्येइतकी असेल तेव्हाच दोन सारण्यांचा गुणाकार केला जाऊ शकतो.
• A ही व्यस्तक्षम सारणी नसल्यास |A| = 0
• जर A ही संविशेष सारणी असेल तर |A| = 0

गणना:

दिलेले आहे की,

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒ |A| = 1(1 - 1) - 1(1 - 1) + 1 (1 - 1) = 0

म्हणून, A चा व्यस्त अस्तित्वात नाही.

⇒ A² = \(\rm \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒ A² = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}\)

⇒ A³ = A² . A

⇒ A³ = \(\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒ A³ = \(\rm \begin{bmatrix} 9 & 9 & 9\\ 9 & 9 & 9\\ 9 & 9 & 9 \end{bmatrix}\)

⇒ A³ = 9\(\rm \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) ≠ A

म्हणून, विधान (2) अयोग्य आहे.

आता, 3A चे मूल्य आहे

= 3 \(\rm \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

⇒ 3A = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}\)

∴  3A = A²

म्हणून, विधान (3) योग्य आहे.