अवकल समीकरण \(\rm x \dfrac{dy}{dx}-y=3\) का हल किसकी श्रेणी दर्शाता है?

संकल्पना:

प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण:
एक अवकल समीकरण का रूप \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) + P × y = Q है, जहाँ P और Q स्थिरांक या केवल x के फलन हैं, इसे प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण के रूप में जाना जाता है। 

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के चरण:

• इसे मानक रूप \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) + P × y = Q में परिवर्तित कीजिए, जहाँ P और Q स्थिरांक या केवल x के फलन हैं। 
• सूत्र का प्रयोग करके समाकलन कारक (F) ज्ञात कीजिए: F = \(\rm e^{\int P\ dx}\).
• सूत्र का प्रयोग करके हल लिखिए: \(\rm y\times F=\displaystyle \int (Q\times F)\ dx+C\) जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है। 

गणना:

\(\rm x \dfrac{dy}{dx}-y=3\)

\(\rm \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}+\left(\dfrac{-1}{x}\right)y=\dfrac{3}{x}\)

⇒ P = \(\rm \dfrac{-1}{x}\) और Q = \(\rm \dfrac{3}{x}\).

समाकलन कारक F = \(\rm e^{\int P\ dx}=e^{\int \tfrac{-1}{x}\ dx}=e^{-\ln x}=\dfrac{1}{x}\).

दिए गए अवकल समीकरण का हल निम्न है:

\(\rm y\times \dfrac{1}{x}=\displaystyle \int \left(\dfrac{3}{x}\times \dfrac{1}{x}\right)\ dx+C\)

\(\rm \Rightarrow \dfrac{y}{x}=3\left(\dfrac{-1}{x}\right)+C\)

⇒ y = Cx - 3, जो एक सीधी रेखा का समीकरण है।