\(4\sin^2 x+ 3\cos^2 x + \sin \frac x 2 + \cos \frac x 2\) का अधिकतम मान क्या है?

Question

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NIMCET 2017 Official Paper

Answer 1

संकल्पना:

sin²x + cos²x = 1

गणना:

माना कि, f(x) = \(4\sin^2 x+ 3\cos^2 x + \sin \frac x 2 + \cos \frac x 2\) है।

\(\rm f(x) \rm =4 \sin ^{2} x+3\left(1-\sin ^{2} x\right)+\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\)

\(\rm =4 \sin ^{2} x+3-3 \sin ^{2} x+\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\)

\(\rm =\sin ^{2} x+3+\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\)

\(\rm =\sin ^{2} x+3+\sqrt{2}\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right]\)

\(\rm =3+\sin ^{2} x+\sqrt{2} \sin \left(\frac \pi 4+\frac{x}{2}\right)\)

\(\rm =3+1+\sqrt{2}(1)\) (∵ sin²x = 1 और \(\sin (\frac \pi 4+\frac{x}{2})=1\) का अधिकतम मान)

इसलिए \(4\sin^2 x+ 3\cos^2 x + \sin \frac x 2 + \cos \frac x 2\) का अधिकतम मान 4 + √2 है।

अतः विकल्प (4) सही है।