फलन \(\phi \left( {{x_1},{x_2}} \right) = - \frac{1}{{2\pi }}log\sqrt {x_1^2 + x_2^2} \) किसका हल है?

संकल्पना:

यदि फलन ϕ(x_1, x₂) लाप्लास समीकरण, \(\frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x_1^2}} + \frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x_2^2}} = 0\)  को संतुष्ट करता है, तो फलन लाप्लास समीकरण का हल है।

गणना:

दिया गया फलन, \(\phi \left( {{x_1},{x_2}} \right) = - \frac{1}{{2\pi }}log\sqrt {x_1^2 + x_2^2} \) है। 

x1 के संबंध में आंशिक रूप से ϕ का अवकलन करने पर\(\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_1}}} = - \frac{1}{{2\pi }} \times \frac{1}{{\sqrt {x_1^2 + x_2^2} }} \times \frac{1}{{2 \times \sqrt {x_1^2 + x_2^2} }} \times 2{x_1} = - \frac{1}{{2\pi }} \times \frac{{{x_1}}}{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}\)

फिर से x1 के संबंध में आंशिक रूप से ϕ का अवकलन करने पर

\(\frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x_1^2}} = - \frac{1}{{2\pi }}\left\{ {\frac{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - {x_1} \times 2{x_1}}}{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2}}}} \right\} = - \frac{1}{{2\pi }} \times \left( {\frac{{x_2^2 - x_1^2}}{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2}}}} \right)\)

उसीप्रकार, x2 के संबंध में दो बार आंशिक रूप से ϕ का अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होगा,

\(\frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x_2^2}} = - \frac{1}{{2\pi }}\left\{ {\frac{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - {x_1} \times 2{x_1}}}{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2}}}} \right\} = - \frac{1}{{2\pi }} \times \left( {\frac{{x_1^2 - x_2^2}}{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2}}}} \right)\)

उपरोक्त दो समीकरणों को जोड़ने पर,

\(\frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x_1^2}} + \frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x_2^2}} = 0\)

चूँकि दिया गया फलन लाप्लास समीकरण ∇2ϕ = 0 को संतुष्ट करता है, इसलिए यह लाप्लास समीकरण का हल है।