\(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\frac{xe^x- \log (1+x)}{x^2}\) के बराबर है

सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है: \(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\frac{xe^x- \log (1+x)}{x^2}\)

गणना:

⇒ \(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\dfrac{xe^x- \log (1+x)}{x^2}\)

⇒ \(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\dfrac{(0)e^0- \log (1+0)}{0^2}\)

⇒ \(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\dfrac{0- \log (1)}{0}\)

हम जानते हैं कि log(1) = 0,

तो, यह फलन का 0/0 रूप है

अब, हम एल् हास्पिटल का नियम लागू कर सकते हैं

⇒ एल् हास्पिटल के नियम में, हम अंश और हर में तब तक अंतर करते हैं जब तक कि 0/0 का रूप समाप्त नहीं हो जाता।

⇒ \(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\dfrac{xe^x + e^x - \frac{1}{(1+x)}}{2x}\)

जब हम x = 0 रखते हैं, तो फिर से यह फलन 0/0 हो जाता है।

एल् हास्पिटल नियम फिर से लागू करें,

⇒ \(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\dfrac{xe^x +e^x + e^x - \frac{(0 - 1)}{(1+x)^2}}{2}\)

अब x = 0 रखिए

⇒ \(\overline{x}_{lim \rightarrow 0}\dfrac{0.e^0 +e^0 + e^0 - \frac{(0 - 1)}{(1+0)^2}}{2}\)

⇒ \(\dfrac{3}{2}\)

अत:, दिए गए फलन का मान \(\dfrac{3}{2}\) होगा।

Additional Information

• उत्पाद नियम: d/dx (uv) = u dv/dx + v du/dx
• भागफल नियम: d/dx (u/v) = ( v du/dx - u dv/dx)/v2