27 tan²x + 3cot²x का न्यूनतम मान क्या है?

अवधारणा:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य, हरात्मक माध्य के सूत्र:

यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है 

⇔ \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{a\;}} + {\rm{\;b}}}}{2}\)

यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है 

⇔ \({\rm{G}} = \sqrt {{\rm{ab}}} \)

समांतर माध्य (AM) और ज्यामितीय माध्य (GM) के बीच संबंध

AM  ≥ GM

गणना:

दिया गया है कि,

27 tan2x + 3cot2x

माना a = 27tan2 x, b = 3cot2 x

हम जानतें है कि,

AM  ≥  GM

\(⇒\ \frac{27tan^2 x + 3cot^2 x}{2}\ ≥ \ \sqrt{27tan^2 x\times 3cot^2 x}\)

हम जानतें है कि, tan θ × cot θ = 1 

\(⇒\ {27tan^2 x + 3cot^2 x}\ ≥ \ 2\times 9\)

⇒ 27 tan2x + 3cot2x ≥ 18

⇒ 27 tan2x + 3cot2x ∈ [18, ∞) 

अत: न्यूनतम मान 18 है।