मान लीजिए X₁ और X₂ N(0, σ²) बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ σ > 0 और N(μ, σ²) माध्य μ और प्रसरण σ² वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है। मान लीजिए, किसी अचर c के लिए, (c(X₁² + X₂²), ∞) प्रसरण σ² के लिए 0.95 विश्वास्यता गुणांक के साथ एक विश्वास्यता अंतराल है। तब c का मान किसके बराबर है?

संप्रत्यय:

काई-वर्ग बंटन:

स्वतंत्र रूप से प्रसामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के वर्गों का योग एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है।
विशेष रूप से, \(N(0, \sigma^2) \) से लिए गए \(X_1\) और \(X_2\) के लिए, व्यंजक \(X_1^2 + X_2^2 \) एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है

2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया:

\( X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2\)

एक प्रतिदर्श से प्रसरण \(\sigma^2\) के आकलन के लिए काई-वर्ग बंटन महत्वपूर्ण है।

प्रसरण के लिए विश्वास्यता अंतराल:

प्रसरण \(\sigma^2\) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन से प्राप्त होता है। सामान्य रूप

\(\sigma^2\) के लिए विश्वास्यता अंतराल का काई-वर्ग सांख्यिकी पर आधारित है

\( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}},\) जहाँ \(s^2 \) प्रतिदर्श प्रसरण है।

\(\chi^2_{\alpha/2, n-1}\) और \(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \) n-1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ काई-वर्ग बंटन से क्रांतिक मान हैं।

व्याख्या:

हमें दिया गया है

\(X_1, X_2 \) \(N(0, \sigma^2)\) से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं, जहाँ \(N(\mu, \sigma^2)\) माध्य μ और प्रसरण \(\sigma^2\) वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है।

विश्वास्यता अंतराल प्रसरण \(\sigma^2\) से जुड़ा हुआ है और इसका विश्वास्यता गुणांक 0.95 है।

हमें समीकरण \(c(X_1^2 + X_2^2) \) में c का मान ज्ञात करना है, जहाँ यह व्यंजक एक विश्वास्यता अंतराल को परिभाषित करने में मदद करता है।

चूँकि \(X_1 \) और \( X_2\) स्वतंत्र हैं और एक प्रसामान्य बंटन \(N(0, \sigma^2)\) से आते हैं, इसलिए उनके वर्ग 2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ एक काई-वर्ग बंटन का पालन करते हैं, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया। विशेष रूप से

\(X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2.\)

वर्गों का योग \(X_1^2 + X_2^2\) का उपयोग प्रसरण \(\sigma^2 \) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल बनाने के लिए किया जा सकता है।

व्यंजक \(c(X_1^2 + X_2^2)\) काई-वर्ग बंटन से संबंधित है। विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन के विभाजक पर आधारित है। 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, विश्वास्यता गुणांक 0.95 है, जिसका अर्थ है कि हमें 5% महत्व स्तर (0.05) पर काई-वर्ग बंटन के विभाजक की आवश्यकता है।

अचर c काई-वर्ग बंटन के विभाजक से संबंधित हो सकता है। दिए गए विश्वास्यता  गुणांक 0.95, हम अपेक्षा करते हैं कि c काई-वर्ग बंटन और 5% महत्व स्तर से जुड़े लघुगणकीय संबंध से प्राप्त होगा।

सांख्यिकीय तालिकाओं से, 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, हम c के व्यंजक में \ln(0.05) का उपयोग करते हैं।

यह काई-वर्ग बंटन विभाजक फलन के आधार पर अवकलज किया गया है।

उपरोक्त समझ के आधार पर, c का सही मान \(c = \frac{-1}{2 \ln(0.05)}.\) है।

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3) है।