Question
Download Solution PDFमाना कि f(x) एक दूसरी डिग्री का बहुपद फलन है और f(1) = f(-1)। यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो f'(a), f'(b), f'(c) ___________ में हैं।
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
समांतर श्रेणी (AP): संख्याओं का वह अनुक्रम जहाँ किसी भो दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है, उसे समांतर श्रेणी कहा जाता है।
- यदि तीन संख्याएँ a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं तो b - a = c - b ⇒ 2b = a + c हैं।
ज्यामितिय श्रेणी (GP): संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है।
- यदि तीन संख्याएँ a, b और c ज्यामितीय श्रेणी में हैं तो \(\rm \dfrac ba=\dfrac cb\) ⇒ b2 = ac।
हरात्मक श्रेणी (HP): संख्याओं की श्रृंखला जहां पदों के पारस्परिक समान्तर श्रेणी में हैं, उन्हें हरात्मक श्रेणी कहा जाता है।
- यदि तीन संख्याएँ a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं तो \(\rm \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}\) ।
गणना:
मान लीजिए कि दूसरी डिग्री बहुपद f(x) = px2 + qx + r है।
दी गई जानकारी से:
f(1) = f(-1)
⇒ p(1)2 + q(1) + r = p(-1)2 + q(-1) + r
⇒ p + q = p - q
⇒ 2q = 0
⇒ q = 0
∴ f(x) = px2 + 0(x) + r
⇒ f(x) = px2 + r
और, f'(x) = 2px।
अब, f'(a) = 2pa, f'(b) = 2pb और f'(c) = 2pc।
चूंकि a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं, हमारे पास हैं:
2b = a + c।
2p से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:
(2p)2b = (2p)a + (2p)c
⇒ 2(2pb) = 2pa + 2pc
⇒ 2pa, 2pb और 2pc समान्तर श्रेणी में हैं।
⇒ f'(a), f'(b) और f'(c) समान्तर श्रेणी में हैं ।
Last updated on Jun 12, 2025
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