यदि X(ω) = δ(ω - ω₀) तो x(t) is

संकल्पना:

फॉरियर रूपांतरण:

इसका प्रयोग किसी परिबद्ध इनपुट और परिबाधा आउटपुट (BIBO) सिग्नल की आवृत्ति विश्लेषण के लिए की जाती है। 

किसी फलन x(t) के लिए फॉरियर रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(X\left( w \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } x\left( t \right){e^{ - jwt}}dt\)

किसी फलन X(w) के लिए व्युत्क्रम फॉरियर रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } X\left( w \right){e^{jwt}}dw\)

आवृत्ति स्थानांतरण

यदि X(ω) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण x(t) है तो

\(X\left( \omega-\omega_0 \right) \leftrightarrow x\left( t \right){e^{j{\omega _0}t}}\)

गणना:

δ (ω) आवेग फलन है जो केवल t = 0 पर मौजूद है

तो इसका व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण निम्न होगा

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \delta \left( \omega \right){e^{j\omega t}}d\omega\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{j\omega0}}d\omega = \frac{1}{{2\pi }}\)

दिया गया सिग्नल δ(ω – ω0) है

व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण निम्न है

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty \delta \left( {\omega - {\omega _0}} \right){e^{j{\omega _0}t}}d\omega \)

आवेग फलन ω0 पर मौजूद है

हम जानते हैं कि आवेग का क्षेत्रफल 1 होता है।

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{j{\omega _0}t}}\)

Important Points

डेल्टा फलन एक सामान्यीकृत आवेग है, अर्थात, नमूना संख्या शून्य का मान एक होता है, जबकि अन्य सभी नमूनों का मान शून्य होता है।

इस कारण से, डेल्टा फलन को अक्सर इकाई आवेग कहा जाता है।

δ (t) फूरियर रूपांतरण 1 है।