यदि संख्याओं -1, 0, 1, k का मानक विचलन \({\rm{\;}}\sqrt 5 {\rm{\;}}\) है जहाँ k > 0 तो k किसके बराबर है?

दिए गए अवलोकन का माध्य = \(\frac{k}{4}\)

दिया हुआ, मानक विचलन, \(\sigma = \sqrt 5\) 

चूंकि, मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल है।

प्रसरण, σ² = 5      -----(i)

प्रसरण के लिए सूत्र, \({\sigma ^2} = \frac{1}{n}\Sigma {\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\) 

\(= \frac{{{{\left( {\frac{k}{4} - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\frac{k}{4} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{k}{4} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{k}{4} - k} \right)}^2}}}{4}\)

\(= \frac{{{{\left( {\frac{k}{4} + 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{k}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{k}{4} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 3k}}{4}} \right)}^2}}}{4}\)

\(= \frac{{\left( {\frac{{{{\rm{k}}^2}}}{{16}} + \frac{{2k}}{4} + 1} \right) + \frac{{{{\rm{k}}^2}}}{{16}} + \left( {\frac{{{{\rm{k}}^2}}}{{16}} - \frac{{2k}}{4} + 1} \right) + \frac{{9{{\rm{k}}^2}}}{{16}}}}{4}\)

\(= \frac{{\left( {\frac{{{{\rm{k}}^2}}}{{16}}} \right) + \frac{{{{\rm{k}}^2}}}{{16}} + \left( {\frac{{{{\rm{k}}^2}}}{{16}}} \right) + \frac{{9{{\rm{k}}^2}}}{{16}} + 2}}{4}\)

\({\sigma ^2} = \frac{{\frac{{12{k^2}}}{{16}} + 2}}{4}\)       -----(ii)

समीकरण (i) और (ii) को बराबर करके, हमें मिलता है

\(\frac{{\frac{{12{k^2}}}{{16}} + 2}}{4} = 5\)

\(\Rightarrow \frac{{12{k^2}}}{{16}} + 2 = 20\)

\(\Rightarrow \frac{{12{k^2}}}{{16}} = 20 - 2\;\)

⇒ 12k² = 18 × 16

⇒ 12k² = 288

\(\Rightarrow {k^2} = \frac{{288}}{{12}} = 24\)

\(\Rightarrow k = \sqrt {24}\)

\(\Rightarrow k = 2\sqrt 6\)