यदि \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&{\rm{y}}&0\\ 0&{\rm{x}}&{\rm{y}}\\ {\rm{y}}&0&{\rm{x}} \end{array}} \right| = 0\) है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

संकल्पना:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}&{{{\rm{a}}_{13}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}}&{{{\rm{a}}_{23}}}\\ {{{\rm{a}}_{31}}}&{{{\rm{a}}_{32}}}&{{{\rm{a}}_{33}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है:

|A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) – (a₂₂ × a₃₁)}

गणना:

दिया गया है:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&{\rm{y}}&0\\ 0&{\rm{x}}&{\rm{y}}\\ {\rm{y}}&0&{\rm{x}} \end{array}} \right| = 0\)

R₁ के साथ विस्तृत करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ x (x² – 0) – y (0 – y²) + 0 = 0

⇒ x³ + y³ = 0

\(\Rightarrow {\rm{\;}}{{\rm{y}}^3}{\rm{\;}}\left( {\frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{{{\rm{y}}^3}}}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}1} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}0{\rm{\;}}\)

\(\therefore \left( {\frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{{{\rm{y}}^3}}}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}1} \right) = {\rm{\;}}0{\rm{\;and\;}}{{\rm{y}}^3} \ne 0\)

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{{{\rm{y}}^3}}}{\rm{\;}} = {\rm{}} - 1\)

\(\Rightarrow \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}} = {\left( { - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\)

अतः x/y, -1 का एक घनमूल है।