θ के किस मान के लिए, जहाँ 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)  है, sin θ + sin θ cos θ अधिकतम मान प्राप्त करता है?

इस्तेमाल किया गया सूत्र:

sin 2θ = 2 sinθ cosθ 

cos 2θ = 2cos2θ - 1

प्रयुक्त अवधारणा:

f'(x) = 0 x = a एक बिंदु पर है

• यदि f'(x) चिन्ह को धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है जबकि फलन का ग्राफ x = a से गुजरता है तो x = a को एक बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ कहा जाता है।
• यदि f''(a) <0 तो x = a स्थानीय उच्चिष्ठ का एक बिंदु है।

गणना:

मान लीजिए f(θ) = sinθ + sinθ cosθ

⇒ f(θ) = sinθ + \(\rm \frac{1}{2}\)​ sin 2θ

⇒ f'(θ) = cosθ + \(\rm \frac{1}{2}\)​ cos 2θ × 2

⇒ f'(θ) =  cosθ + cos 2θ 

f'(θ) = 0 रखने पर

⇒ cosθ + 2cos2θ - 1 = 0

⇒ 2cos2θ + 2cosθ - cosθ  - 1 = 0

⇒ 2cosθ (cosθ + 1) - 1(cosθ + 1) = 0 

⇒ (cosθ + 1) (2cosθ - 1) = 0

⇒ cosθ = 1/2, cosθ = -1

⇒ θ = π/3, π 

दी गई श्रेणी के अनुसार 0 < < \(\frac{π}{2}\)

θ = π/3

θ = π/3 के इस मान पर फलन अधिकतम और न्यूनतम हो सकता है

इसलिए, हमें दूसरे अवकलज की जांच करनी होगी

f"(θ) = - sinθ - 2sin2θ 

θ = π/3 पर

f"(π/3 ) ≤ 0

अतः, हम कह सकते हैं कि θ = π/3 स्थानीय उच्चिष्ठ का एक बिंदु है।