एक पोर्टर गवर्नर की प्रत्येक भुजा 200 मिमी लंबी है और गवर्नर के घूर्णन अक्ष पर धुरी पर लगी हुई है। न्यूनतम और अधिकतम गति पर गेंदों के घूर्णन की त्रिज्याएँ क्रमशः 120 मिमी और 160 मिमी हैं। स्लीव का द्रव्यमान 25 किग्रा और प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान 5 किग्रा है। गवर्नर की अनुमानित अधिकतम और न्यूनतम गति क्या होगी? स्लीव में नगण्य घर्षण मानते हुए? [मान लें, \(g\left(\frac{30}{\pi}\right)^2=900\) ; g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण।

संप्रत्यय:

पोर्टर गवर्नर की गति गेंदों और स्लीव पर कार्य करने वाले केन्द्रापसारक बल को गुरुत्वाकर्षण बल के साथ संतुलित करके निर्धारित की जाती है। आरपीएम में गति N का सूत्र इन बलों और गवर्नर की ज्यामिति से प्राप्त होता है।

गवर्नर की ऊँचाई h इस प्रकार दी जाती है:

\(h = \sqrt{l^2 - r^2}\)

जहाँ l भुजा की लंबाई है और r घूर्णन की त्रिज्या है।

गति N की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(N = \frac{30}{\pi} \sqrt{\frac{g (m + M/2)}{m h}} \)

जहाँ g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, m प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान है, और M स्लीव का द्रव्यमान है।

दिए गए संबंध \(g \left( \frac{30}{\pi} \right)^2 = 90 \), सूत्र सरल हो जाता है:

\(N = \sqrt{\frac{90 (m + M/2)}{m h}}\)

गणना:

दिया गया है:

प्रत्येक भुजा की लंबाई, \(l = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m}\)

न्यूनतम गति पर त्रिज्या, \( r_{\text{min}} = 120 \, \text{mm} = 0.12 \, \text{m} \)

अधिकतम गति पर त्रिज्या, \(r_{\text{max}} = 160 \, \text{mm} = 0.16 \, \text{m}\)

स्लीव का द्रव्यमान, M = \(25 \, \text{kg}\)

प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान, m = 5 kg

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

चरण 1: न्यूनतम और अधिकतम गति पर ऊँचाई h की गणना करें

न्यूनतम गति के लिए ( \(r = 0.12 \, \text{m}\)):

\(h_{\text{min}} = \sqrt{0.2^2 - 0.12^2} = \sqrt{0.04 - 0.0144} = \sqrt{0.0256} = 0.16 \, \text{m}\)

अधिकतम गति के लिए (\(r = 0.16 \, \text{m}\)):

\(h_{\text{max}} = \sqrt{0.2^2 - 0.16^2} = \sqrt{0.04 - 0.0256} = \sqrt{0.0144} = 0.12 \, \text{m}\)

चरण 2: न्यूनतम और अधिकतम गति की गणना करें

न्यूनतम गति ( h = 0.16 m):

\(N_{\text{min}} = \sqrt{\frac{90 (5 + 25/2)}{5 \times 0.16}} = \sqrt{\frac{90 \times 17.5}{0.8}} = \sqrt{1968.75} \approx 141 \, \text{rpm}\)

अधिकतम गति (h = 0.12 m):

\(N_{\text{max}} = \sqrt{\frac{90 (5 + 25/2)}{5 \times 0.12}} = \sqrt{\frac{90 \times 17.5}{0.6}} = \sqrt{2625} \approx 183 \, \text{rpm}\)

गवर्नर की अनुमानित अधिकतम और न्यूनतम गतियाँ हैं:

अधिकतम गति = 183 rpm

न्यूनतम गति = 141 rpm