मार्कोव श्रृंखला X0, X1, X2, .... पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्ठि S है।

i, j ∈ S दो ऐसी अवस्थायें हैं जो एक दूसरे के साथ संपर्क करती हैं। निम्न में से कौन सा वक्तव्य सत्य नहीं है?

व्याख्या

मान लीजिये

चूँकि 'i' और 'j' एक-दूसरे के साथ संवाद करते हैं अर्थात i ⇔ j

इसलिए, 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं।

(याद रखें: यदि 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं, तो)

'i' का आवर्तकाल = 'j' का आवर्तकाल

'i' आवर्ती है यदि और केवल यदि 'j' आवर्ती है

(b) सीमित वितरण

\(\lim _{n →\infty} P_{i j}^{(n)}=\lim_{n → \infty} P_{j j}^{(n)}=π\)j ← 'i' से स्वतंत्र

अतः, परिणाम @ R(b) द्वारा, विकल्प (1), (2) (4) सही हैं।

इसलिए, केवल विकल्प (3) बचा है [हमें यह जांचना होगा कि यह कथन गलत है]

विकल्प (3) के लिए औचित्य (कैसे गलत है?)

\(\lim _{n → \infty} P\left(x_n=i \mid x_0=k\right)=\lim _{n → \infty} P\left(x_n=j \mid x_0=k\right) \quad \forall k ∈ S\)

\( { अर्थात } \operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k i}^{(n)}=\operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k j}^{(n)} \Rightarrow π_i=π_j .\)

जो सत्य होना आवश्यक नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

\(let s=\{1,2,3\}, P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2\end{array}\right]\)

i = 1, j = 2 लीजिये; k = 3

यहाँ, i और j संचारित अवस्थाएँ हैं।

मान लीजिये π = (π1, π2, π3) → π सीमित वितरण है।n.

(यह π = πp को संतुष्ट करता है और π1 + π2 + π3 = 1)

अब π = πP ⇒ [π1 π2 π3] = [π1 π2 π3]\(\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{array}\right]\)

\(=\left[\frac{π_2+π_3}{2}, \frac{π_2}{2}, \frac{π_1+π_2+π_3}{2}\right]\)

\(\Rightarrow π_1=\frac{π_2+π_3}{2}, \quad π_2=\frac{π_1}{2}\)

\(\quad π_3=\frac{π_1+π_2+π_3}{2}=\frac{1}{2}\)

\(=\frac{π / 2+1 / 2}{2}\)

\(\begin{gathered} \Rightarrow π_2=2 π_1-1 / 2 \quad \& π_2=π_{1 / 2} \\ \Rightarrow 2 π_1-1 / 2=π_1 / 2 \\ \Rightarrow \frac{3 π_1}{2}=1 / 2 \Rightarrow π_1=1 / 3 \\ \Rightarrow π_2=1 / 6 \\ \Rightarrow π_1=\frac{1}{3}, π_2=1 / 6, π_3=1 / 2 \end{gathered}\)

∵ π1 ≠ π2

∵ π1 ≠ π2 k = 3 ∈ S के लिए

विकल्प (3) गलत है