[π, 3π]-এ f(x) = \(\rm cos \dfrac{x}{2}\) ফাংশনের জন্য রোলের উপপাদ্যে 'c'-এর মান কত?

ধারণা:

রোলের উপপাদ্য :

রোলের উপপাদ্য বলে যে যদি একটি ফাংশন f(x) বন্ধ ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন থাকে [a, b] এবং খোলা ব্যবধানে (a, b) পার্থক্যযোগ্য হয়,

f(a) = f(b), তারপর, কিছু c ∈ [a, b] এর জন্য

f′(c) = 0

গণনা:

প্রদত্ত ফাংশনটি হল f(x) = \(\rm \cos \dfrac{x}{2}\) [π, 3π]-এ।

f(π) = \(\rm \cos \dfrac{\pi}{2}\) = 0 এবং f(3π) = \(\rm \cos \dfrac{3\pi}{2}\) = 0 .

যেহেতু, f(π) = f(3π), সেখানে অবশ্যই একটি c ∈ [π, 3π] থাকতে হবে যাতে f'(c) = 0

f'(x) = \(\rm \dfrac{d}{dx}\left (\cos \dfrac{x}{2} \right )=-\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {x}{2} \right )\)

⇒ f'(c) = \(\rm -\dfrac{1}{2}\left (\sin \dfrac {c}{2} \right )\) = 0

⇒ \(\rm \sin \dfrac {c}{2}\) = 0

⇒ \(\rm \dfrac {c}{2}\) = nπ

⇒ c = 2nπ, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।

আমরা c ∈ [π, 3π] চাই, তাই c = 2π