Determinants MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Determinants - मोफत PDF डाउनलोड करा

संकल्पना:

जर A =  असेल, तर A चा सारणिक पुढीलप्रमाणे असेल:

|A| = = λ

गणना:

दिलेले आहे, f(x) =

∴ f(x) = - x2(cos x - tan x)

∴ 

=

= 0

∴ = 0

गणना:

दिलेले आहे, f(n) = αn + βn

⇒ f(1) = α + β, f(2) = α² +β², f(3) = α³ + β³ आणि f(4) = α⁴ + β⁴

∴ Δ =

=

=

=

= (1 - α)²(1 - β)²(α - β)²

= K(1 - α)²(1 - β)²(α - β)² (दिलेले आहे)

∴ K = 1

∴ K चे मूल्य 1 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

संकल्पना:

संख्या 2, b, c गणितीय श्रेढीमध्ये आहेत 

गणना

दिलेले आहे: det (A) ϵ [2, 16]

स्तंभ क्रिया लागू करणे, C₁ → C₁ - C₂ आणि C₂ → C₂ - C₃

 (2-b) आणि (b -c) सामायिक म्हणून घ्या,

⇒ |A| =(2 - b) (b - c) (b + c - 2 - b)

⇒ |A| =(2- b) (b - c) (c - 2)

⇒ |A| =(2- ) ( - c) (c - 2)

⇒ |A| = (c - 2)3 /4 ϵ [2, 16]

⇒ (c - 2)3 ϵ [8, 64] 

⇒ c ϵ [4, 6].

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे.

संकल्पना:

• दिलेल्या समीकरणांसाठी स्थिर संज्ञा शून्य नसल्यामुळे Δ­1, Δ2, आणि Δ3 ही मूल्ये शून्य असू शकतात किंवा 0 असू शकत नाहीत.
• एकमात्र उकलसाठी, गुणांकाच्या निर्धारकाचे मूल्य म्हणजे Δ शून्य नसावे.

Δ  ≠  0

जेथे Δ हा दिलेल्या एकसंध समीकरणाच्या गुणांकाने तयार केलेला निर्धारक आहे, 

गणना

दिलेले आहे:

(1 + α)x + βy + z = 0 

αx + (1 + β)y + z = 0

αx + βy + 2z = 0

⇒ Δ  = (α + β + 2) [C1 → C1 + C2 + C3]

⇒ Δ = (α + β + 2) [R2 → R2 - R1 आणि R3 → R3 - R1]

⇒ Δ = (α + β + 2)

• एकमात्र उकलसाठी,

⇒ α + β + 2 ≠ 0 

⇒ α + β ≠ -2.

• ही स्थिती केवळ अंतराल(2, 4) साठी समाधानकारक आहे
• तर, योग्य उत्तर पर्याय 3 आहे.                                 

संकल्पना:

जर आणि हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = 

निर्धारकांचे गुणधर्म

गणना:

जर आणि हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = 

दिलेले आहे: क्षेत्रफळ 'k' चौरस एकक आहे

⇒ k = 

⇒ 

आता,  

= 

= 

= 16.(2k)(2k)

= 64k²

संकल्पना:

सारणिक वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

      ----(1)

वापरलेले सूत्र:

GP चे n वे पद खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते;

T_n = a.r^{(n - 1)}      ----(2)

जेथे a = पहिले पद आणि r = समान गुणोत्तर.

गणना:

जसे a, x₁, x₂ समान गुणोत्तर r सह GP मध्ये आहेत,

⇒ x₁ = a.r, x₂ = a.r²      [(2) वापरून]

जसे b, y1, y2 समान गुणोत्तर s सह GP मध्ये आहेत,

⇒ y1 = b.s, y2 = b.s²      [(2) वापरून]

∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

      [(1) वापरून]

C₁ → C₁ - C₃ आणि C₂ → C₂ - C₃ लागू केल्यास​, आपणास मिळते,

      (∵ (a - b)(a + b) = a² - b²)

म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे.

गणना: 

m sinθ + n cosθ = sin θ  + cos θ 

= +

= 

आता,

|m sinθ + n cosθ| = 

=  + 

= 2()

= 2

म्हणून, पर्याय (4) योग्य आहे.

संकल्पना:

वापरलेला सूत्र

cos(A + B) = cosA.cosB – sinA.sinB

गणना:

= cos 40°.cos 20° – sin 40°.sin 20°

= cos (40° + 20°)

= cos 60°

= 1/2

संकल्पना:

जर दोन रेषीय समीकरणे

a₁​x + b₁y ​= c₁​ आणि a₂​x + b₂y ​= c₂​. तर,

(a) जर a₁​​/a₂ = b₁​​/b₂ ​​= c₁​​/c₂ आहे​​, तर प्रणाली सुसंगत आहे आणि त्यात अनेक समाधान आहेत.

(b) जर a₁​​/a₂ = b₁​​/b₂ ≠ c₁​​/c₂ आहे​​, तर प्रणालीकडे कोणताही समाधान नाही आणि तो विसंगत आहे

गणना:

3x − 4y = 5 आणि 12x − 16y = 20 समीकरणांमध्ये

3/12 = -4/-16 = 5/20 ⇒ ¼ = ¼ = ¼

त्यामुळे प्रणाली सुसंगत आहे आणि अनंतपणे अनेक समाधान आहेत

∴ त्यांच्याकडे दोनपेक्षा जास्त समान समाधान आहेत.

संकल्पना:

तीन चलांमधील समीकरणांची प्रणाली विचारात घेऊ या:

a₁ × x + b₁ × y + c₁ × z = d₁

a₂ × x + b₂ × y + c₂ × z = d₂

a₃ × x + b₃ × y + c₃ × z = d₃

तर, 

क्रॅमरच्या नियमानुसार:

I. जर Δ ≠ 0 असेल, तर समीकरण प्रणालीला अद्वितीय समाधान आहे आणि ते द्वारे दिले जाते:

II. जर Δ = 0 आणि किमान एक निर्धारक Δ, Δ1, Δ2 आणि Δ3 शून्य नसले तर दिलेली प्रणाली विसंगत आहे.

III. जर Δ = 0 आणि Δ1 = Δ2 = Δ3 = 0, तर प्रणाली सुसंगत आहे आणि अनंतपणे अनेक समाधान आहेत.

गणना:

दिलेले आहे: x + y + z = 3, x – y + 2z = 6 and x + y + α z = β.

जसे आपल्याला माहित आहे की,

⇒ Δ = 2 – 2α, Δ₁ = 3β – 9α, Δ₂ =  3α - β and Δ₃ = 6 – 2β.

आपल्याला माहित आहे की, दिलेल्या समीकरण प्रणालीसाठी क्रॅमरच्या नियमानुसार अद्वितीय समाधान असणे आवश्यक आहे:

 Δ ≠ 0

⇒ Δ = 2 – 2α ≠ 0 ⇒ α ≠ 1.

संकल्पना:

• जर A आणि B काेटी n चे दोन निर्धारक असतील, तर |A ⋅ B| = |A| ⋅ |B|
• कोणतीही चौरस सारणी अर्थात A साठी, |A| = |A^T|

गणना:

दिलेले आहे: AAT = I = ATA जेथे A ही चौरस सारणी आहे आणि I ही अविकारक सारणी आहे.

येथे, आपल्याला |A| शोधावे लागेल

∵ AAT = I

⇒ |A ⋅ A^T| = |I| = 1 ----------(∵ अविकारक सारणीचा निर्धारक नेहमी 1 असतो)

जसे आपल्याला माहित आहे की, जर A आणि B हे काेटी n चे दोन निर्धारक असतील, तर |A ⋅ B| = |A| ⋅ |B|

⇒  |A ⋅ AT| = |A| ⋅ |A^T| = 1

आपल्याला माहित आहे की, चौरस सारणी अर्थात A साठी, |A| = |AT|

⇒ |A|² = 1

⇒ |A| = ± 1

म्हणून, पर्याय 2 हे योग्य उत्तर आहे.

संकल्पना:

जर आणि हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = 

निर्धारकांचे गुणधर्म

गणना:

जर आणि हे त्रिकोणाचे शिरोबिंदू असतील तर,

क्षेत्रफळ = 

दिलेले आहे: क्षेत्रफळ 'k' चौरस एकक आहे

⇒ k = 

⇒ 

आता,  

= 

= 

= 16.(2k)(2k)

= 64k²

संकल्पना:

• जेव्हा सारणिक क्रिया दोन आधारकांच्या  उत्पादनावर लागू केली जाते तेव्हा सारणिक वितरित केली जाईल.

|XY| = |X||Y|

तसेच, 

|kX| = kⁿ|A| 

जेथे n हा सारणिक क्रम आहे आणि k हा कोणताही स्थिरांक आहे.

गणना

दिलेले आहे:

|A| = -1, |B| = 3

 ⇒ |3AB| = 3³ |AB| = 27  |A||B| 

⇒ |3AB| =  27 × (-1) × 3 = - 81     [ज्याअर्थी |KA| = Kⁿ |A|] 

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे. 

संकल्पना:

सारणिक वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

      ----(1)

वापरलेले सूत्र:

GP चे n वे पद खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते;

T_n = a.r^{(n - 1)}      ----(2)

जेथे a = पहिले पद आणि r = समान गुणोत्तर.

गणना:

जसे a, x₁, x₂ समान गुणोत्तर r सह GP मध्ये आहेत,

⇒ x₁ = a.r, x₂ = a.r²      [(2) वापरून]

जसे b, y1, y2 समान गुणोत्तर s सह GP मध्ये आहेत,

⇒ y1 = b.s, y2 = b.s²      [(2) वापरून]

∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दर्शविले जाते-

      [(1) वापरून]

C₁ → C₁ - C₃ आणि C₂ → C₂ - C₃ लागू केल्यास​, आपणास मिळते,

      (∵ (a - b)(a + b) = a² - b²)

म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे.