Special Terms of Binomial Expansion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Terms of Binomial Expansion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

द्विपद प्रसार:

• द्विपद प्रमेय का उपयोग के रूप के व्यंजकों के प्रसार के लिए किया जाता है।
• के प्रसार में सामान्य पद द्वारा दिया जाता है, जहाँ ⁿC_k द्विपद गुणांक है।
• का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम प्रसार से संबंधित पदों की पहचान करते हैं और गुणांक को 35 के बराबर सेट करते हैं।

गणना:

के प्रसार को दिया गया है, हमारे पास है:

प्रसार में x³ का गुणांक 35 है।

हम x³ पद के लिए द्विपद प्रसार सूत्र का उपयोग करते हैं

⇒ (p+ q)_c3 = 35 = ⁷C₃

⇒ p+q =7

∴ सही उत्तर विकल्प C है। 

अवधारणा:

• (a + b)n के द्विपद प्रसार में सामान्य पद दिया गया है:
• यदि sin θ = sin α ⇒ θ =

गणना:

दिया गया है,  के मध्य पद का मान है।

चूँकि, n = 10

⇒ मध्य पद = पद = 6^वाँ पद

∴ T₆ = T₅₊₁

=

⇒ =

⇒ = sin⁵x

⇒ = 252 sin5x

⇒ sin5x =

⇒ sin x = = sin

∴ x =

गणना

दिया गया है:

A = (1 + x)^2n-1 में 30वें पद का गुणांक = ^2n-1C₂₉

B = (1 + x)^2n-1 में 12वें पद का गुणांक = ^2n-1C₁₁

2A = 5B

⇒

⇒

⇒

⇒ 2n - 12 = 30

⇒ n = 21

इसलिए विकल्प 2 सही है

अवधारणा:

सामान्य पद: (a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

गणना:

हम जानते हैं कि Tr+1 = Cr an-r br

दी गई द्विपद अभिव्यक्ति  में n = 10, a = x और b = ।

∴ Tr+1 = 10Cr x10-r  = 10Cr (-1)r x10-2r

पद को x से स्वतंत्र होने के लिए हमारे पास 10 - 2r = 0 होना चाहिए।

⇒ r = 5

आवश्यक पद है:

10C5 (-1)5 = - 10C5

अवधारणा:

सामान्य पद: (a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

1. जब n सम है, तब मध्य पद = 

2. जब n विषम है, तो मध्य पद  और 

दी गई अभिव्यक्ति (2x - 3)8 के लिए , n = 8 (सम)

∴  मध्य  पद  = T₅ होगा जो कि 5 वां पद है ।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = 

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × 

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद  पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद  पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात्  पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् औरदो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  and  = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) ×   और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) ×  

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × 

T3 = 80x और  T4 = 

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और  है। 

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

गणना:

दिया गया विस्तार  है

सामान्य पद =  

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी 

⇒ r = 2

है

संकल्पना:

हमारे पास (x + y) ⁿ = ⁿC₀ xⁿ + ⁿC₁ x^n-1 . y + ⁿC₂ x^n-2. y² + …. + ⁿC_n yⁿ है। 

सामान्य पद: (x + y) ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

गणना:

हमें  में x का स्वतंत्र पद ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं कि,

x के स्वतंत्र पद के लिए, x का घांत शून्य होना चाहिए। 

इसलिए,  20 – 5r = 0

⇒ r = 4

अवधारणा:

सामान्य पद: (a + b) n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

गणना:

हम जानते हैं कि Tr+1 = Cr an-r br।

दी गई द्विपद अभिव्यक्ति (3 + ax)9 में n = 9, a = 3 और b = ax।

∴ Tr+1 = 9Cr 39-r (ax)r = 9Cr 39  xr

x2 और x³ के गुणांकों के लिए हमारे पास क्रमशः r = 2 और 3 होना चाहिए।

⇒ 9C2 39  = 9C3 39 

⇒ a =

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न दिया गया है 

गणना:

हमें  के विस्तार में x का स्वतंत्र पद ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं,

⇒  

= ⁹C_r x^{18 - 2r} (-1)^r x^-r

= (-1)^r 9C_r x^{18 - 3r}

x के स्वतंत्र पद के लिए, x का घांत शून्य होना चाहिए।  

इसलिए, 18 - 3r = 0

∴ r = 6

अतः मान (-1)^6 9C₆ = 84 है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी  पद मध्य पद है।

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी और  दो मध्य पद हैं।

(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)

गणना:

दिया गया है:

(1 + 4x + 4x2)5

⇒ [(1 + 2x)2]5

⇒ (1+ 2x)10

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = =  6th पद 

मध्य पद, T6 =  T5 + 1 =  ¹⁰C₅ (1)⁵ (2x)⁵

⇒ ×  32x5

⇒ 8064 x5

∴ (1 + 4x + 4x2)5  के विस्तार में मध्य पद का गुणांक 8064 है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर निर्भर (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो यहाँ केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो यहाँ दो मध्य पद हैं अर्थात्और   दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें  के विस्तार में मध्य पद को ज्ञात करना हैं। 

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = 

T₆ = T (5 + 1) = ¹⁰C₅ × (x) (10 - 5) × 

T₆ =  ¹⁰C5

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

(x + y)n के विस्तार में पदों की संख्या (n + 1) है। 

अंत से (n + 1)वां पद पहला पद है और nवां पद दूसरा पद है। 

गणना:

  के विस्तार में एक विस्तार के अंत से nवां पद दूसरा पद है। 

T_r+1 = ⁿC_r (2x)^{(n - r)} 

T₂ =  ⁿC₁.(2x)^{(n - 1)} 

= 

= 

=